小六數(shù)學(xué)第4講：枚舉法（教師版）——李寒松.docx

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1、第四講枚舉法1.計數(shù)問題分為兩個大類，一類是“計次序”的問題，一類是“不計次序”的問題。2.枚舉需要按照一定的順序和一定的規(guī)律來進行分類，這樣可以做到不重復(fù)和不遺漏。3.枚舉法的根本思想在于分類，通過分類可以將原本復(fù)雜的問題拆分成若干個比較簡單的問題，然后再逐一進行分析。分類的思想可以化繁為簡，化復(fù)雜為簡單。4.可以利用“樹形圖”來方便的記錄枚舉的過程，有幾類問題就分出幾個分枝，逐層按照順序不斷分叉再一一篩選，留下符合條件的，去掉不符合條件的。注意在枚舉“不計次序”的問題時，只需考慮從小到大（或從大到?。┡帕械姆种?，而

2、不用理會其他情況。5.計次序：不但要挑選出來，而且還需要排列順序，不同的排列順序認(rèn)為是不同的情況或方法。這類問題通常是“排列”的題目。6.不計次序：只要挑選出來即可，不需要排列順序，不同的排列順序認(rèn)為是相同的情況或方法。這類問題通常是“選取”的題目。1.理解“枚舉法”的含義。2.能在題目中熟練運用枚舉法解題。例1：小明和小紅玩擲骰子的游戲，共有兩枚骰子，一起擲出。若兩枚骰子的點數(shù)和為7，則小明勝；若點數(shù)和為8，則小紅勝。試判斷他們兩人誰獲勝的可能性大。分析與解：將兩枚骰子的點數(shù)和分別為7與8的各種情況都列舉出來，就可得

3、到問題的結(jié)論。用a＋b表示第一枚骰子的點數(shù)為a，第二枚骰子的點數(shù)是b的情況。出現(xiàn)7的情況共有6種，它們是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。出現(xiàn)8的情況共有5種，它們是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。所以，小明獲勝的可能性大。注意，本題中若認(rèn)為出現(xiàn)7的情況有1＋6，2＋5，3＋4三種，出現(xiàn)8的情況有2＋6，3＋5，4＋4也是三種，從而得“兩人獲勝的可能性一樣大”，那就錯了。例2：數(shù)一數(shù)，右圖中有多少個三角形。分析與解：圖中的三角形形狀、大小都不相同，位置也很凌亂，不好數(shù)清楚。為了避免數(shù)數(shù)過程中的

4、遺漏或重復(fù)，我們將圖形的各部分編上號（見右圖），然后按照圖形的組成規(guī)律，把三角形分成單個的、由兩部分組成的、由3部分組成的……再一類一類地列舉出來。單個的三角形有6個：1，2，3，5，6，8。由兩部分組成的三角形有4個：（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。由三部分組成的三角形有1個：（5，7，8）。由四部分組成的三角形有2個：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。由八部分組成的三角形有1個：（1，2，3，4，5，6，7，8）?？偣灿?＋4＋1＋2＋1=14（個）。對于這類圖形的計數(shù)問題，分類型數(shù)是常用的方

5、法。例3:在算盤上，用兩顆珠子可以表示多少個不同的四位數(shù)？分析與解：上珠一個表示5，下珠一個表示1。分三類枚舉：（1）兩顆珠都是上珠時，可表示5005，5050，5500三個數(shù)；（2）兩顆珠都是下珠時，可表示1001，1010，1100，2000四個數(shù)；（3）一顆上珠、一顆下珠時，可表示5001，5010，5100，1005，1050，1500，6000七個數(shù)。一共可以表示3＋4＋7=14（個）四位數(shù)。由例1～3看出，當(dāng)可能的結(jié)果較少時，可以直接枚舉，即將所有結(jié)果一一列舉出來；當(dāng)可能的結(jié)果較多時，就需要分類枚舉，分類枚

6、舉是我們需重點學(xué)習(xí)掌握的內(nèi)容。分類一定要包括所有可能的結(jié)果，這樣才能不遺漏，并且類與類之間不重疊，這樣才能不重復(fù)。例4有一只無蓋立方體紙箱，將它沿棱剪開成平面展開圖。那么，共有多少種不同的展開圖？分析與解：我們將展開圖按最長一行有多少個正方形（紙箱的面）來分類，可以分為三類：最長一行有4個正方形的有2種，見圖（1）（2）；最長一行有3個正方形的有5種，見圖（3）～（7）；最長一行有2個正方形的有1種，見圖（8）。不同的展開圖共有2＋5＋1＝8（種）。例5：小明的暑假作業(yè)有語文、算術(shù)、外語三門，他準(zhǔn)備每天做一門，且相鄰兩

7、天不做同一門。如果小明第一天做語文，第五天也做語文，那么，這五天作業(yè)他共有多少種不同的安排？分析與解：本題是分步進行一項工作，每步有若干種選擇，求不同安排的種數(shù)（有一步差異即為不同的安排）。這類問題簡單一些的可用乘法原理與加法原理來計算，而本題中由于限定條件較多，很難列出算式計算。但是，我們可以根據(jù)實際的安排，對每一步可能的選擇畫出一個樹枝狀的圖，非常直觀地得到結(jié)果。這樣的圖不妨稱為“枚舉樹”。由上圖可知，共有6種不同的安排。例6：一次數(shù)學(xué)課堂練習(xí)有3道題，老師先寫出一個，然后每隔5分鐘又寫出一個。規(guī)定：（1）每個學(xué)生

8、在老師寫出一個新題時，如果原有題還沒有做完，那么必須立即停下來轉(zhuǎn)做新題；（2）做完一道題時，如果老師沒有寫出新題，那么就轉(zhuǎn)做前面相鄰未解出的題。解完各題的不同順序共有多少種可能？分析與解：與例5類似，也是分步完成一項工作，每步有若干種可能，因此可以通過畫枚舉樹的方法來求解。但必須考慮到所有可能的情形。　　由上圖可知，共有5種不同的