因式分解公式及方法大全

《因式分解公式及方法大全》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、公式及方法大全待定系數(shù)法(因式分解)待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用．在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，兩邊對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．常用的因式分解公式：??????????　　例1分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．　　分析由于　　(

2、x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，　　若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和x+y+n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決．　　解設(shè)　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3　　=(x+2y+m)(x+y+n)　　=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，　　比較兩邊對應(yīng)項的系數(shù)，則有　　解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．　　說明本題也可用雙十字相乘法，請同學(xué)們自己解一下．　　例2分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．　　分析本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據(jù)前面

3、講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是±1，±7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式．如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．　　解設(shè)　　原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)　　　　=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，　　所以有　　由bd=7，先考慮b=1，d=7有　　所以　　原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．　　說明由于因式分解的唯一性，所以對b=-1，d=-7等可以不加以考慮．本題如果b=1，d=7代入方程組后，無法確定a，c的值，就必須將

4、bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止．　　本題沒有一次因式，因而無法運用求根法分解因式．但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式．由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)我們把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項式，并用f(x)，g(x)，…等記號表示，如?　　f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，　　當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示．如對上面的多項式f(x)　　f(1)=12-3×　　我們把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n為非

5、負整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項式，并用f(x)，g(x)，…等記號表示，如　　f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，　　當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示．如對上面的多項式f(x)　　f(1)=12-3×1+2=0；　　f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．　　若f(a)=0，則稱a為多項式f(x)的一個根．　　定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式x-a．　　根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項式f(x)的根．對于任意多項式f(x)，要求出它

6、的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根．　　定理2　　的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)．特別地，當a0=1時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)．　　我們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解．　　例2分解因式：x3-4x2+6x-4．　　分析這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個檢驗-4的約數(shù)：±1，±2，±4，只有　　f(2)=23-4×22+6×2-4=0，　　即x=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1，原式必

7、有因式x-2．　　解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2)．　　原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)　　　　=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)　　　　=(x-2)(x2-2x+2)．　　解法2用多項式除法，將原式除以(x-2)，　　所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．　　說明在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項式的根．因此，必須對-4的約數(shù)逐個代入多項式進行驗證．　　例3分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．　　分析因為9的約數(shù)有±1，±3，±9；-2的約數(shù)有