資源描述:
《【9A文】因式分解公式大全》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】公式及方法大全待定系數(shù)法(因式分解)待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法,應(yīng)用很廣泛,這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用.在因式分解時(shí),一些多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)分析,可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式,但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定,這時(shí)可以用一些字母來(lái)表示待定的系數(shù).由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積,根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì),兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等,或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組),解出待定字母系數(shù)的值,這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.常用的因式分解公式:【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】【MeiWei
2、_81重點(diǎn)借鑒文檔】 例1分解因式:R2+3RR+2R2+4R+5R+3. 分析由于 (R2+3RR+2R2)=(R+2R)(R+R), 若原式可以分解因式,那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是R+2R+m和R+R+n的形式,應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n,使問(wèn)題得到解決. 解設(shè) R2+3RR+2R2+4R+5R+3 =(R+2R+m)(R+R+n) =R2+3RR+2R2+(m+n)R+(m+2n)R+mn, 比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù),則有 解之得m=3,n=1.所以原式=(R+2R+3)(R+R+1). 說(shuō)明本題也可用雙十字相乘法,請(qǐng)同學(xué)們自己解
3、一下. 例2分解因式:R4-2R3-27R2-44R+7.【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】 分析本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式,根據(jù)前面講過(guò)的求根法,若原式有有理根,則只可能是±1,±7(7的約數(shù)),經(jīng)檢驗(yàn),它們都不是原式的根,所以,在有理數(shù)集內(nèi),原式?jīng)]有一次因式.如果原式能分解,只能分解為(R2+aR+b)(R2+cR+d)的形式. 解設(shè) 原式=(R2+aR+b)(R2+cR+d) =R4+(a+c)R3+(b+d+ac)R2+(ad+bc)R+bd, 所以有 由bd=7,先考慮b=1,d=7有 所
4、以 原式=(R2-7R+1)(R2+5R+7). 說(shuō)明由于因式分解的唯一性,所以對(duì)b=-1,d=-7等可以不加以考慮.本題如果b=1,d=7代入方程組后,無(wú)法確定a,c的值,就必須將bd=7的其他解代入方程組,直到求出待定系數(shù)為止. 本題沒(méi)有一次因式,因而無(wú)法運(yùn)用求根法分解因式.但利用待定系數(shù)法,使我們找到了二次因式.由此可見,待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地.求根法(因式分解)【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】我們把形如anRn+an-1Rn-1+…+a1R+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于R的一元多項(xiàng)式,
5、并用f(R),g(R),…等記號(hào)表示,如 f(R)=R2-3R+2,g(R)=R5+R2+6,…, 當(dāng)R=a時(shí),多項(xiàng)式f(R)的值用f(a)表示.如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(R) f(1)=12-3× 我們把形如anRn+an-1Rn-1+…+a1R+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于R的一元多項(xiàng)式,并用f(R),g(R),…等記號(hào)表示,如 f(R)=R2-3R+2,g(R)=R5+R2+6,…, 當(dāng)R=a時(shí),多項(xiàng)式f(R)的值用f(a)表示.如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(R) f(1)=12-3×1+2=0; f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=
6、12. 若f(a)=0,則稱a為多項(xiàng)式f(R)的一個(gè)根. 定理1(因式定理)若a是一元多項(xiàng)式f(R)的根,即f(a)=0成立,則多項(xiàng)式f(R)有一個(gè)因式R-a.【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】 根據(jù)因式定理,找出一元多項(xiàng)式f(R)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(R)的根.對(duì)于任意多項(xiàng)式f(R),要求出它的根是沒(méi)有一般方法的,然而當(dāng)多項(xiàng)式f(R)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí),即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí),經(jīng)常用下面的定理來(lái)判定它是否有有理根. 定理2 的根,則必有p是a0的約數(shù),q是an的約數(shù).特別地,當(dāng)a0=1時(shí),整系數(shù)多項(xiàng)式f(R)
7、的整數(shù)根均為an的約數(shù). 我們根據(jù)上述定理,用求多項(xiàng)式的根來(lái)確定多項(xiàng)式的一次因式,從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解. 例2分解因式:R3-4R2+6R-4. 分析這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式,原式若有整數(shù)根,必是-4的約數(shù),逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù):±1,±2,±4,只有 f(2)=23-4×22+6×2-4=0, 即R=2是原式的一個(gè)根,所以根據(jù)定理1,原式必有因式R-2. 解法1用分組分解法,使每組都有因式(R-2). 原式=(R3-2R2)-(2R2-4R)+(2R-4) =R2(R-2)-2R(R-2)+2(R-2)【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒
8、文檔】【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】 =(R-2)(R2-2R+2).