【9A文】因式分解公式大全

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1、【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】公式及方法大全待定系數(shù)法(因式分解)待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用．在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來(lái)表示待定的系數(shù)．由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．常用的因式分解公式：【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】【MeiWei

2、_81重點(diǎn)借鑒文檔】　　例1分解因式：R2+3RR+2R2+4R+5R+3．　　分析由于　　(R2+3RR+2R2)=(R+2R)(R+R)，　　若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是R+2R+m和R+R+n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問(wèn)題得到解決．　　解設(shè)　　R2+3RR+2R2+4R+5R+3　　=(R+2R+m)(R+R+n)　　=R2+3RR+2R2+(m+n)R+(m+2n)R+mn，　　比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有　　解之得m=3，n=1．所以原式=(R+2R+3)(R+R+1)．　　說(shuō)明本題也可用雙十字相乘法，請(qǐng)同學(xué)們自己解

3、一下．　　例2分解因式：R4-2R3-27R2-44R+7．【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】　　分析本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)前面講過(guò)的求根法，若原式有有理根，則只可能是±1，±7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式．如果原式能分解，只能分解為(R2+aR+b)(R2+cR+d)的形式．　　解設(shè)　　原式=(R2+aR+b)(R2+cR+d)　　　　=R4+(a+c)R3+(b+d+ac)R2+(ad+bc)R+bd，　　所以有　　由bd=7，先考慮b=1，d=7有　　所

4、以　　原式=(R2-7R+1)(R2+5R+7)．　　說(shuō)明由于因式分解的唯一性，所以對(duì)b=-1，d=-7等可以不加以考慮．本題如果b=1，d=7代入方程組后，無(wú)法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止．　　本題沒(méi)有一次因式，因而無(wú)法運(yùn)用求根法分解因式．但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式．由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】我們把形如anRn+an-1Rn-1+…+a1R+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于R的一元多項(xiàng)式，

5、并用f(R)，g(R)，…等記號(hào)表示，如　　f(R)=R2-3R+2，g(R)=R5+R2+6，…，　　當(dāng)R=a時(shí)，多項(xiàng)式f(R)的值用f(a)表示．如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(R)　　f(1)=12-3×　　我們把形如anRn+an-1Rn-1+…+a1R+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于R的一元多項(xiàng)式，并用f(R)，g(R)，…等記號(hào)表示，如　　f(R)=R2-3R+2，g(R)=R5+R2+6，…，　　當(dāng)R=a時(shí)，多項(xiàng)式f(R)的值用f(a)表示．如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(R)　　f(1)=12-3×1+2=0；　　f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=

6、12．　　若f(a)=0，則稱a為多項(xiàng)式f(R)的一個(gè)根．　　定理1(因式定理)若a是一元多項(xiàng)式f(R)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(R)有一個(gè)因式R-a．【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】　　根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(R)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(R)的根．對(duì)于任意多項(xiàng)式f(R)，要求出它的根是沒(méi)有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(R)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來(lái)判定它是否有有理根．　　定理2　　的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)．特別地，當(dāng)a0=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(R)

7、的整數(shù)根均為an的約數(shù)．　　我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來(lái)確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．　　例2分解因式：R3-4R2+6R-4．　　分析這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù)：±1，±2，±4，只有　　f(2)=23-4×22+6×2-4=0，　　即R=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式R-2．　　解法1用分組分解法，使每組都有因式(R-2)．　　原式=(R3-2R2)-(2R2-4R)+(2R-4)　　　　=R2(R-2)-2R(R-2)+2(R-2)【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒

8、文檔】【MeiWei_81重點(diǎn)借鑒文檔】　　　　=(R-2)(R2-2R+2)．