排列與組合綜合應(yīng)用

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1、排列組合的綜合應(yīng)用計數(shù)的基本原理排列組合排列數(shù)Anm公式組合數(shù)Cnm公式組合數(shù)的兩個性質(zhì)應(yīng)用本章知識結(jié)構(gòu)分類計數(shù)原理完成一件事,有n類辦法,在第1類辦法中,有m1種不同的方法,在第2類辦法中,有m2種不同的方法……在第n類辦法中,有mn種不同的方法,則完成這件事有N=m1+m2+……+mn種不同的方法分步計數(shù)原理完成一件事,需要分成n個步驟,在第1步中,有m1種不同的方法,在第2步中,有m2種不同的方法……在第n步中,有mn種不同的方法,則完成這件事有N=m1×m2×……×mn種不同的方法分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理之間的區(qū)別與聯(lián)系1．分類計數(shù)原理中各類方法之間是互相獨立的，每一類每一種方法都能

2、直接完成這件事情，分步計數(shù)原理中，各個步驟之間是相互聯(lián)系的，依次完成所有步驟才能完成這件事情．2．分類計數(shù)原理的重點在一個“類”字，分步計數(shù)原理的重點在一個“步”字，應(yīng)用加法原理時，要注意“類”與“類”之間的獨立性和并列性，在各類辦法中彼此是獨立的，并列的．應(yīng)用分步計數(shù)原理時，要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性，做一件事需分成若干個步驟，每個步驟相繼完成，最后才算做完整個工作練習(xí)1：書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？（2）若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書中取不同的科目的

3、書兩本，有多少種不同的取法？答案：N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．N=m1×m2×m3=90．N=3×5＋3×6＋5×6=63．練習(xí)2：由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個三位整數(shù)（各位上的數(shù)字允許重復(fù)）？解：要組成一個三位數(shù)，需要分成三個步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從1～4這4個數(shù)字中任選一個數(shù)字，有4種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，共有5種選法；第三步確定個位上的數(shù)字，仍有5種選法．根據(jù)乘法原理，得到可以組成的三位整數(shù)的個數(shù)是N=4×5×5=100．答：可以組成100個三位整數(shù)．從n個不同的元素中，任取A個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同的元素中取

4、出A個元素的一個排列。排列與排列數(shù)所有排列的個數(shù)叫做排列數(shù)，用表示。判斷下列幾個問題是不是排列問題?①從班級5名優(yōu)秀團員中選出3人參加上午的團委會②1000本參考書中選出100本給100位同學(xué)每人一本③1000名來賓中選20名貴賓分別坐1～20號貴賓席組合④兩個組合的元素完全相同為相同組合注①n個不同元素②m≤n③組合與元素的順序無關(guān)排列與元素的順序有關(guān)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)表示方法Cmn從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合組合數(shù)的兩個性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2Cnm=AnmA

5、mm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m﹗例2計算:C107(2)C74(1)C例3求證mCnCnm+1=m+1n-m判斷下列幾個問題是排列問題還是組合問題?⑤四個足球隊舉行單循環(huán)比賽(每兩隊比賽一場)共有多少種比賽?⑥四個足球隊舉行單循環(huán)比賽的所有冠亞軍的可能性情況有多少種?③從2,3,4,5,6中任取兩數(shù)構(gòu)成指數(shù),有多少個不同的指數(shù)?④從2,3,4,5,6中任取兩數(shù)相加,有多少個不同的結(jié)果?①十個人相互通了一封信,共有多少封信?②十個人相互握一次手,共握了多少次手?1）由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)共有個。2）用0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位

6、數(shù)，共有個。3）五名同學(xué)排成一排，其中的甲乙兩同學(xué)必須站在兩端，共有種不同排法。4810012例1典型例題例2從1到6這六個數(shù)字中任取5個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),且個位和百位必須是奇數(shù),這樣的五位數(shù)共有多少個?萬千百十個解法:N==144個有條件的排列問題有條件的排列問題例3七個家庭一起外出旅游，若其中四家各有一個男孩，三家各有一個女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。a)若三個女孩要站在一起，有多少種不同的排法？解：將三個女孩看作一人與四個男孩排隊，有種排法，而三個女孩之間有種排法，所以不同的排法共有：（種）。捆綁法有條件的排列問題七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)

7、將這七個小孩站成一排照相留念。b)若三個女孩要站在一起，四個男孩也要站在一起，有多少種不同的排法？不同的排法有：（種）說一說捆綁法一般適用于問題的處理。相鄰有條件的排列問題七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。c)若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？解：先把四個男孩排成一排有種排法，在每一排列中有五個空檔（包括兩端），再把三個女孩插入空檔中有種方法