特征值特征向量

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1、定義1設(shè)A為n階方陣，X是n維向量，如果存在數(shù)l，使方程AX=lX有非零解，則稱l為矩陣A的特征值，相應的非零解稱為A的屬于l的特征向量方程AX=lXAX-lX=O(A-lE)X=O特征值:使n元齊次方程AX=lX有非零解的數(shù)l0A的對應于l0的特征向量：即不論l取何值，方程AX=lX一定有解§4·3矩陣的特征值和特征向量例如：對，取l=4，代入方程AX=lX得AX=4X(A-4E)X=O(A-4E)X=O有非零解所以，l=4是矩陣A的一個特征值對，取，得一個基礎(chǔ)解系:則方程(A-4E)X=O的全部解為：c為任意常數(shù)A的屬于l=4的特征向量：1、求n階方陣A的特征值：數(shù)l

2、0是A的特征值l0使方程AX=lX有非零解因此：l0是A的特征值?0使成立求A的特征值步驟：(1)計算n階行列式解得方程的根l1，l2，…，ln，則l1，l2，…，ln即是A的特征值設(shè)則方程即是?的n次方程在復數(shù)域上，方程一定有n個根。A的特征多項式方程A的特征方程定義2設(shè)A為n階方陣，為其特征值組，則其特征方程可表示為：則Ki稱為?i的代數(shù)重數(shù)(重數(shù))，而?i特征子空間的維數(shù)稱為幾何重數(shù)(度數(shù))。顯然：解：令，得l1=-1，l2=7則A的特征值為l1=-1，l2=7【例1】求的特征值2、求A的屬于特征值l的特征向量設(shè)li是A的特征值，則方程AX=liX有非零解.即方程(

3、A-liE)X=O有非零解，方程組(A-liE)X=O的全部非零解A的對應于特征值li的特征向量:2）求出(A-liE)X=O的一個基礎(chǔ)解系V1、V2、…、Vs步驟：1）把l=li代入方程(A-liE)X=O得一齊次線性方程組(A-liE)X=O3）A的屬于特征值li的特征向量為：是不全為零任意常數(shù)【例2】求矩陣的特征值與特征向量解：得l1=2，l2=l3=1（二重根）則A的特征值為l1=2，l2=l3=1把l1=2代入方程(A-lE)X=O，得(A-2E)X=O???íì==+-=+-0040312121xxxxx?íì==0021xx取x3=1得一基礎(chǔ)解系:于是，A的

4、屬于l1=2的全部特征向量為：把l2=l3=1代入方程(A-lE)X=O，得:(A-E)X=O行變換于是，A的屬于?2=1的全部特征向量為：?íì=+=+-0023121xxxx?íì-==13122xxxx取x1=1,得一基礎(chǔ)解系:解：得?1=-2，?2=?3=7（二重根）則A的特征值為?1=-2，?2=?3=7把l1=-2代入方程(A-lE)X=O，得(A+2E)X=O【例3】求矩陣的特征值與特征向量于是，A的屬于l1=-2的全部特征向量為：?íì=+-=-02023221xxxx?íì==232122xxxx取x2＝1，得一基礎(chǔ)解系：把l2=l3=7代入方程(A-l

5、E)X=O，得(A-7E)X=O令分別取，得基礎(chǔ)解系：于是，A的屬于l2=l3=7的全部特征向量為：022321=++xxx31222xxx--=定理1n階方陣A的不同特征值對應的特征向量線性無關(guān)。即，若?1是屬于特征值l1的特征向量，?2是屬于特征值?2的特征向量，?1??2，則?1、?2線性無關(guān)。證明：設(shè)l1、l2、…、lm是A的m個不同的特征值，a1、a2、…am是分別屬于l1、l2、…、lm的特征向量，即?i是方程AX＝?iX的非零解，即有A?i＝?i?i，且?i?0。要證：?1,?2…,?m線性無關(guān)，設(shè)在(1)式兩邊左乘A，得:(2)在(2)式兩邊左乘A，得:(

6、3)（1）（2）（3）（m）做矩陣乘積:（*）不同特征值對應的特征向量線性無關(guān)。所以：則：定理2設(shè)l是A的特征值，a是A的屬于l的特征向量，則:(1)kl是kA的特征值(k為任意常數(shù))(2)lm是Am的特征值(m為正整數(shù))(3)當A可逆時，l≠0，且l-1是A-1的特征值因為a是A的屬于l的特征向量，即a是方程AX=lX的非零解，所以有Aa=la，且a≠0。證(1)：kl是kA的特征值且a≠0，所以a是方程kAX=klX的非零解，所以kl是kA的特征值。要證方程(kA)X=(k?)X有非零解，因為：(kA)a=k(Aa)=k(la)=(kl)a先證當A可逆時，l≠0：反證

7、：若不然，l=0由Aa=la，得Aa=0因為A可逆，兩邊左乘A-1，得?=0。矛盾證（3）當A可逆時，l≠0，且l-1是A-1的特征值再證l-1是A-1的特征值：因為Aa=la，兩邊左乘A-1，得：a=A-1la=lA-1a且?≠0l-1a=A-1a即a是方程A-1X=l-1X的非零解故l-1是A-1的特征值【例4】設(shè)四階方陣A滿足求A*的一個特征值。解：,即A可逆,由所以l=-3是A的一個特征值且由再由定理2的（1）可知：定理3矩陣A與其轉(zhuǎn)置矩陣A’有相同的特征值證明：即A與A’有相同的特征多項式故A與A’有相同的特征值定理