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1、第五章 矩陣的特征值§1.矩陣的特征值和特征向量一、矩陣的特征值的定義定義1：設為n階矩陣，是一個數(shù)，如果存在非零n維向量，使得：，則稱是矩陣的一個特征值，非零向量為矩陣的屬于（或對應于）特征值的特征向量。下面討論一般方陣特征值和它所對應特征向量的計算方法。設是n階矩陣，如果是的特征值，是的屬于的特征向量，則因為是非零向量，這說明是齊次線性方程組的非零解，而齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)矩陣的行列式等于零，即＝0而屬于的特征向量就是齊次線性方程組的非零解。定理1：設是n階矩陣，則是的特征值，是的屬于的特征向量的充分必要條件是是＝0的根，是齊次線性方程組的
2、非零解。定義2：稱矩陣稱為的特征矩陣，它的行列式稱為的特征多項式，＝0稱為的特征方程，其根為矩陣的特征值。由定理1可歸納出求矩陣的特征值及特征向量的步驟：（1）計算；（2）求＝0的全部根，它們就是的全部特征值；（3）對于矩陣的每一個特征值，求出齊次線性方程組19的一個基礎解系：，其中為矩陣的秩；則矩陣的屬于的全部特征向量為：其中為不全為零的常數(shù)。例1求的特征值及對應的特征向量。解：＝＝令＝0得：當時，解齊次線性方程組即：可知，取為自由未知量，對應的方程為求得一個基礎解系為，，所以的屬于特征值1的全部特征向量為，其中為不全為零的常數(shù)。當時，解齊次線性方程組，取為自由未知
3、量，對應的方程組為19求得它的一個基礎解系為，所以的屬于特征值-2的全部特征向量為，其中是不為零的常數(shù)。例2求的特征值及對應的特征向量。解：＝令＝0， 解得：。對于，解齊次線性方程組，－的秩為2，取為自由未知量，對應的方程組為，求得它的一個基礎解系為，所以的屬于特征值0的全部的特征向量為，其中K為不為零的常數(shù)。例3求的特征值及對應的特征向量。解：＝＝令＝0解得：19當時，，取為自由未知量，對應的方程組為，解得一個基礎解系為，所以A的屬于特征值-1的全部特征向量為，其中是不為零的常數(shù)。當時，，取為自由未知量，對應的方程組為，解得一個基礎解系為，所以的屬于特征值1的全部特
4、征向量為，其中是不為零的常數(shù)。當時，，取為自由未知量，對應的方程組為，解得一個基礎解系為，所以的屬于特征值1的全部特征向量為，其中是不為零的常數(shù)。例4已知矩陣有一個特征向量，求的值。解：由已知有：＝19得：， 所以有：練習：（1）求矩陣的特征值及相應的特征向量。解：的特征向量為；的特征向量為（不全為零）。（2）已知矩陣有一個特征向量，試求及所對應的特征值。解：設是特征向量所對應的特征值，由定義得：＝解得：，，。二、特征值、特征向量的基本性質（1）如果是的屬于特征值的特征向量，則一定是非零向量，且對于任意非零常數(shù)K，K也是的屬于特征值的特征向量。（2）如果是的屬于特征值
5、的特征向量,則當時，也是的屬于特征值的特征向量。證：）＝（3）n階矩陣A與它的轉置矩陣有相同的特征值。證：注：同一特征值的特征向量不一定相同；的特征矩陣不一定相同。（4）設，則19（a）（b）推論：A可逆的充分必要條件是A的所有特征值都不為零。即。定義3：設，把A的主對角線元素之和稱為A的跡，記作，即：＝。由此性質（ａ）可記為＝(5）設是A的特征值，且是A屬于的特征向量，則（a）是的特征值，并有（）＝（）（b）是的特征值，＝（c）若A可逆，則且是的特征值，＝。證：因為是A屬于的特征值，有，（a）兩邊同乘得：，則是的特征值。（b）＝，則是的特征值，（c）因為A可逆，所以
6、它所有的特征值都不為零，由＝，得：，即：再由，兩邊同除以得：＝，所以且是的特征值。例1已知三階方陣A，有一特征值是3，且，求A的所有特征值。解：設A的特征值為3，，由上述性質得：＝619＝6由此得：例2已知三階方陣A的三個特征值是1，-2，3，求（1），（2）的特征值，（3）的特征值，（4）的特征值。解：（1）＝1＝-6（2）的特征值：1，，；（3）的特征值：1，2，3；（4）＝＝-6，則的特征值為：-6即為：-6，3，-2。例3已知矩陣，且向量是逆矩陣的特征向量，試求常數(shù)。解：設是對于的特征值，所以＝，即得：或例4設A為n階方陣，證明的充要條件是0為矩陣A的一個特征
7、值。證明：0為矩陣A的一個特征值例5若，則A的特征值只有是零。證明：設是矩陣A的任一特征值，是對應的特征向量，則∴，而，所以19練習：已知矩陣有特征值（二重），，試確定之值。解：因為矩陣的全部特征值之和等于其主對角線上元素之和，故有：，解得：§2.相似矩陣一、相似矩陣的定義定義1：設A、B為n階矩陣，如果存在n階可逆矩陣P，使得成立，則稱矩陣A與B相似，記作。例1已知，則，且所以。例2如果n階矩陣A與n階單位矩陣I相似，則A＝I。解：因為，所以一定存在可逆陣P使成立，由此得。二、相似矩陣的性質相似矩陣具有下述性質：（1）反身性：對任意n階方陣A，都有
