蘇教版特征值和特征向量

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1、2.5特征值與特征向量復(fù)習(xí)回顧1．矩陣的行列式為,若有則矩陣存在逆矩陣.2.矩陣是否可逆的判斷3.逆矩陣的求解．4.矩陣的逆矩陣為復(fù)習(xí)回顧5.設(shè)線性方程組為復(fù)習(xí)回顧6.用逆矩陣解決二元一次方程組的求解過(guò)程:復(fù)習(xí)回顧鞏固練習(xí)1、若矩陣M對(duì)應(yīng)的變換是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的反射變換，則矩陣M-1=______________;2.已知矩陣M=,則矩陣M不存在逆矩陣的充要條件為_(kāi)____________;ad-bc=03.將二元一次方程組，寫(xiě)成矩陣方程的形式為_(kāi)__________________;學(xué)習(xí)目標(biāo):1.掌

2、握特征值與特征向量定義,能從幾何變換的角度說(shuō)明特征向量的意義；2.會(huì)求二階矩陣的特征值與特征向量；3.利用矩陣M的特征值,特征向量給出Mnα的簡(jiǎn)單表示；2.5特征值與特征向量【探究】1、計(jì)算下列結(jié)果：以上的計(jì)算結(jié)果與的關(guān)系是怎樣的？2、計(jì)算下列結(jié)果：以上的計(jì)算結(jié)果與的關(guān)系是怎樣的？例題分析工程技術(shù)中的一些問(wèn)題?如振動(dòng)問(wèn)題和穩(wěn)定性問(wèn)題??？蓺w結(jié)為求一個(gè)方陣的特征值和特征向量的問(wèn)題?數(shù)學(xué)中諸如方陣的對(duì)角化及解微分方程組的問(wèn)題?也都要用到特征值的理論?引例:在一個(gè)n輸入n輸出的線性系統(tǒng)y=Ax中，其中我們

3、可發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)A對(duì)于某些輸入x，其輸出y恰巧是輸入x的倍，即；對(duì)某些輸入，其輸出與輸入就不存在這種按比例放大的關(guān)系.例如，對(duì)系統(tǒng)，若輸入則若輸入，則所以，給定一個(gè)線性系統(tǒng)A，到底對(duì)哪些輸入，能使其輸出按比例放大，放大倍數(shù)多少？這顯然是控制論中感興趣的問(wèn)題.Ma＝lal為矩陣M的特征值,a為矩陣M的屬于特征值l的特征向量.特征值及特征向量的定義一、特征值與特征向量的概念定義1:設(shè)Ａ為二階矩陣,若對(duì)于實(shí)數(shù)λ，存在一個(gè)非零向量?，使得則稱λ為Ａ的一個(gè)特征值，稱?為Ａ的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量.一、特征值與特

4、征向量的概念定義1:設(shè)Ａ為二階矩陣,若對(duì)于實(shí)數(shù)λ，存在一個(gè)非零向量?，使得則稱λ為Ａ的一個(gè)特征值，稱?為Ａ的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量.從幾何上看特征向量的方向經(jīng)過(guò)變換矩陣A的作用后，保持在同一條直線上.這時(shí)，特征向量或者方向不變（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特別地，當(dāng)λ=0時(shí)，特征向量被變換成了0向量.設(shè)l是矩陣A=的一個(gè)特征值，它的一個(gè)特征向量為則即滿足方程組故因，所以x,y不全為0，此時(shí)Dx=0、Dy=0.則D=0即建構(gòu)數(shù)學(xué)設(shè)矩陣A＝，l∈R，我們把行列式稱為A的特征多項(xiàng)式.分析表明，如

5、果l是矩陣A的特征值，則f(l)=0此時(shí)，將l代入方程組(*)，得到一組非零解即為矩陣A的屬于l的一個(gè)特征向量.數(shù)學(xué)運(yùn)用例1、求出矩陣A=的特征值和特征向量總結(jié)求二階矩陣特征值與特征向量的步驟：思考能否從幾何變換的角度直接觀察出矩陣A的特征向量？其幾何意義是什么？如果a是矩陣A的屬于特征值l的一個(gè)特征向量，則對(duì)任意的非零常數(shù)t，ta也是矩陣A的屬于特征值l的特征向量.【定理1】屬于矩陣的同一個(gè)特征值的特征向量共線.屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線.【定理2】屬于矩陣的不同特征值的特征向量有何關(guān)系

6、？思考：注解1:1.特征值問(wèn)題只針對(duì)方陣而言；2.屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量,即一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)多個(gè)特征向量；3.矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值．示例1求矩陣的特征值和特征向量.數(shù)學(xué)應(yīng)用求特征值和特征向量的一般步驟：（1）由求出所有特征值；（2）求解線性方程組（為特征值），則所得非零解X必為特征向量.同步歸納f(l)=0注解2：（1）不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量不相等，即：一個(gè)特征向量只對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值.（2）矩陣的特征

7、向量是在變換下的“不變量”；（3）變換的幾何意義:只改變其特征向量的長(zhǎng)度不改變其方向！例2數(shù)學(xué)應(yīng)用解：第一步A的特征多項(xiàng)式為第二步由f(λ)=0，得A的特征值λ1=-2，λ2=11、根據(jù)下列矩陣對(duì)應(yīng)的變換，寫(xiě)出它的特征值與特征向量：（1）矩陣A=的特征值為_(kāi)________,則相應(yīng)的特征向量為_(kāi)______________;（2）矩陣B=的特征值為_(kāi)________,則相應(yīng)的特征向量為_(kāi)______________;（3）矩陣C=的特征值為_(kāi)________,則相應(yīng)的特征向量為_(kāi)__________

8、____;練一練2、求出下列矩陣的特征值與特征向量：練一練5.已知x,y∈R，向量是矩陣的屬于特征值-2的一個(gè)特征向量，求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值.（15江蘇高考）練一練概念的引入知識(shí)回顧新課講解：已知向量求實(shí)數(shù)m,n，使建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)任意向量都可以用特征向量來(lái)表示.數(shù)學(xué)運(yùn)用練一練練一練課堂小結(jié)將直觀觀察特征值與特征向量和利用特征多項(xiàng)式來(lái)解特征值與特征向量結(jié)合起來(lái)考慮，互相驗(yàn)證，這也是數(shù)學(xué)研究的一種常用思路和方法，用形的直觀探索解題的道路，用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)求解問(wèn)題！作業(yè)