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《探究圓錐曲線離心率的問題》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、學(xué)科網(wǎng)(www.zxxk.com)全國最大的教學(xué)資源網(wǎng)站！探究圓錐曲線離心率的問題在新課程中，圓錐曲線的離心率問題是高考中?？嫉膯栴}，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率的值；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍。由于它涉及圓錐曲線較多的基本量，方程與曲線問題，方程組與不等式的求解問題，等等，所以相對比較復(fù)雜，學(xué)生常常感到難以下手，不好把握。下面就通過近年的一些高考題和模擬題的分析、研究和求解，總結(jié)出一般的解題策略和方法。1．求圓錐曲線離心率的值例1．（2008江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，
2、過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率=分析：如圖，，與圓O相切，由于切線，互相垂直，所以四邊形OAPB為正方形，，這樣就得到一個關(guān)于基本量，的齊次方程，從而求解出比值的值。解：由已知條件，四邊形OAPB為正方形，所以，所以，解出，即例2．（2010南通二模）A，B是雙曲線C的兩個頂點(diǎn)，直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且與實(shí)軸垂直，若，則雙曲線C的離心率=。分析：直線l的任意性，取特殊情況，例如，這樣可以得到結(jié)果。當(dāng)然我們應(yīng)用多項(xiàng)式恒等于0，可以得到對應(yīng)的系數(shù)為0，從而得到一個關(guān)于基本量的方程，再解出比值北京學(xué)易星科技有限
3、公司版權(quán)所有@學(xué)科網(wǎng)學(xué)科網(wǎng)(www.zxxk.com)全國最大的教學(xué)資源網(wǎng)站！的值。解：不妨設(shè)雙曲線C的方程，則，，根據(jù)已知條件，設(shè)，，所以，，由，得，又，所以，即恒成立，所以，得，所以，所以，從而。2．求圓錐曲線離心率的取值范圍例3．（2010四川）橢圓的右焦點(diǎn)F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，則橢圓離心率的取值范圍是．分析：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等，。如果我們考慮幾何的大小，易知不超過，得到一個關(guān)于基本量，，，的不等式
4、，從而求出離心率的范圍；如果我們考慮，通過設(shè)橢圓上的點(diǎn)，注意到橢圓本身的范圍，也可以求出離心率的范圍。解法1：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，所以，而，，北京學(xué)易星科技有限公司版權(quán)所有@學(xué)科網(wǎng)學(xué)科網(wǎng)(www.zxxk.com)全國最大的教學(xué)資源網(wǎng)站！所以，所以。又，所以，所以，即，又，所以解法2：設(shè)點(diǎn)。由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，所以，由橢圓第二定義，，所以，而，，所以，解出，由于，所以，又，所以，即，又，所以例4．（2009重慶理）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上
5、存在一點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．分析：由正弦定理，所以，又根據(jù)雙曲線的定義，，所以易得到，。因?yàn)?，所以P點(diǎn)在雙曲線的右半支上，如果我們考慮幾何的大小，易知，得到一個關(guān)于基本量，，，的不等式，從而求出離心率的范圍；如果我們考慮，通過設(shè)雙曲線上的點(diǎn)北京學(xué)易星科技有限公司版權(quán)所有@學(xué)科網(wǎng)學(xué)科網(wǎng)(www.zxxk.com)全國最大的教學(xué)資源網(wǎng)站！，注意到雙曲線本身的范圍，也可以求出離心率的范圍。解法1：在中，由正弦定理得，，所以，又根據(jù)雙曲線的定義，，所以易得到，，由已知，，所以點(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以，所以，，因?yàn)椋?/p>
6、所以，所以。解法2：設(shè)點(diǎn)。由雙曲線第二定義，，，所以，，，又，所以，。在中，由正弦定理得，，所以，則，所以，由已知，，所以點(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以，，因?yàn)椋?，所以。?．（2010南京三模）已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，，若該橢圓上存在一點(diǎn)P，使得，則橢圓離心率的取值范圍是．分析：如果我們考慮幾何的大小，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)當(dāng)P為橢圓的短軸的頂點(diǎn)B1（或B2）時∠F1PF2北京學(xué)易星科技有限公司版權(quán)所有@學(xué)科網(wǎng)學(xué)科網(wǎng)(www.zxxk.com)全國最大的教學(xué)資源網(wǎng)站！最大（需要證明），從而有0＜∠F1PF2≤∠F1B1F2．（或），此時
7、離心率，當(dāng)橢圓比此時更圓，則就不存在點(diǎn)P，使得了，根據(jù)條件可得∠F1B1F2≥60°，易得≥，故≤e＜1。；如果我們考慮，通過設(shè)橢圓點(diǎn)，利用橢圓本身的范圍，也可以求出該橢圓離心率的取值范圍。解法1：首先證明，在三角形中，由余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即當(dāng)M與橢圓的短軸的頂點(diǎn)（或）重合時最大。余同分析。解法2：設(shè)點(diǎn)。由橢圓第二定義，，，所以，，，又，所以，，在三角形中，由余弦定理，，代入并整理得，而，所以，，又，所以。3．總結(jié)：（1）．圓錐曲線離心率的問題，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率；二是求橢圓和雙曲線離心率的
8、取值范圍。（2）．一般來說，求橢圓（或雙曲線）的離心率，只需要由條件得到一個關(guān)于基本量，北京學(xué)易星科技有限公司版權(quán)所有@學(xué)科網(wǎng)學(xué)科網(wǎng)(www.zxxk.com)全國最大的教學(xué)資源網(wǎng)站！，，的一個方程，就可以從中求出離心率。（3）．一般來說，求橢圓（或雙曲線）的離心率的取值范圍，通常可以從三
