圓錐曲線離心率問題.doc

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1、第九章圓錐曲線的離心率問題解析幾何圓錐曲線的離心率問題離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要幾何性質(zhì)，一方面刻畫了橢圓，雙曲線的形狀，另一方面也體現(xiàn)了參數(shù)之間的聯(lián)系。一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、離心率公式：（其中為圓錐曲線的半焦距）（1）橢圓：（2）雙曲線：2、圓錐曲線中的幾何性質(zhì)及聯(lián)系（1）橢圓：，①：長軸長，也是同一點(diǎn)的焦半徑的和：②：短軸長③橢圓的焦距（2）雙曲線：①：實(shí)軸長，也是同一點(diǎn)的焦半徑差的絕對(duì)值：②：虛軸長③橢圓的焦距3、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)的比例關(guān)系（只需找出其中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系即可），方法通常有

2、兩個(gè)方向：（1）利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形（曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形），那么可考慮尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與有關(guān)，另一條邊為焦距。從而可求解（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用進(jìn)行表示，再利用條件列出等式求解2、離心率的范圍問題：在尋找不等關(guān)系時(shí)通?？蓮囊韵聨讉€(gè)方面考慮：（1）題目中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對(duì)橫坐標(biāo)的范圍有要求。如果問題圍繞在“曲線上存在一點(diǎn)”，則可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍就是求離心率范

3、圍的突破口第九章圓錐曲線的離心率問題解析幾何（2）若題目中有一個(gè)核心變量，則可以考慮離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可（3）通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而解出離心率注：在求解離心率范圍時(shí)要注意圓錐曲線中對(duì)離心率范圍的初始要求：橢圓：，雙曲線：二、典型例題：例1：設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上，若，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．思路：本題存在焦點(diǎn)三角形，由線段的中點(diǎn)在軸上，為中點(diǎn)可得軸，從而，又因?yàn)?，則直角三角形中，，且，所以答案：A小煉有話說：在圓錐曲線中，要注意為中點(diǎn)是

4、一個(gè)隱含條件，如果圖中存在其它中點(diǎn)，則有可能與搭配形成三角形的中位線。例2：橢圓與漸近線為的雙曲線有相同的焦點(diǎn),為它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,則橢圓的離心率為________思路：本題的突破口在于橢圓與雙曲線共用一對(duì)焦點(diǎn)，設(shè)，在雙曲線中，，不妨設(shè)在第一象限，則由橢圓定義可得：第九章圓錐曲線的離心率問題解析幾何，由雙曲線定義可得：，因?yàn)?，而代入可得：答案：小煉有話說：在處理同一坐標(biāo)系下的多個(gè)圓錐曲線時(shí)，它們共同的要素是聯(lián)接這些圓錐曲線的橋梁，通常以這些共同要素作為解題的關(guān)鍵點(diǎn)。例3：如圖所示，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過的直線交雙曲線的

5、漸近線于兩點(diǎn)，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.思路：本題沒有焦半徑的條件，考慮利用點(diǎn)的坐標(biāo)求解，則將所涉及的點(diǎn)坐標(biāo)盡力用表示，再尋找一個(gè)等量關(guān)系解出的關(guān)系。雙曲線的漸近線方程為，由直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍可得：，確定直線l的方程為，與漸近線聯(lián)立方程得將轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語言，則，即，解得，從而第九章圓錐曲線的離心率問題解析幾何答案：B例4：設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得則該雙曲線的離心率為A.B.C.D.3思路：條件與焦半徑相關(guān)，所以聯(lián)想到，進(jìn)而與找到聯(lián)系，計(jì)

6、算出的比例，從而求得解：即解得：（舍）或答案：B例5：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為.思路：本題涉及的條件多與坐標(biāo)有關(guān)，很難聯(lián)系到參數(shù)的幾何意義，所以考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用進(jìn)行表示，在利用條件求出離心。首先直線的方程含，聯(lián)立方程后交點(diǎn)的坐標(biāo)可用進(jìn)行表示（），則中點(diǎn)，再利用點(diǎn)在橢圓上即可求出離心率第九章圓錐曲線的離心率問題解析幾何解：直線的方程為：；直線的方程為：，聯(lián)立方程可得：解得：，則在橢圓上，解得：答案：例6：已知F是雙曲線的左焦

7、點(diǎn)，是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．思路：從圖中可觀察到若為銳角三角形，只需要為銳角。由對(duì)稱性可得只需即可。且均可用表示，是通徑的一半，得：，，所以，即答案：B小煉有話說：（1）在處理有關(guān)角的范圍時(shí)，可考慮利用該角的一個(gè)三角函數(shù)值，從而將角的問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫叺谋戎祮栴}第九章圓錐曲線的離心率問題解析幾何（2）本題還可以從直線的斜率入手，，利用即可求出離心率例7：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍為（）A

8、.B.C.D.思路：為焦點(diǎn)三角形的內(nèi)角，且對(duì)邊為焦半徑，所以利用正弦定理對(duì)等式變形：，再由解得：，再利用焦半徑的范圍為可得（由于依題意，非左右頂點(diǎn)，所以焦半徑取不到邊界值）：，解得答案：D例8：已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.思路一：