微分方程在數(shù)模中的應(yīng)用

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1、微分方程在數(shù)模中的應(yīng)用主講人：李偉西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程模型利用微分方程模型解決一個(gè)實(shí)際問題，可以按照如下步驟：?（1）給出問題所涉及的原理或物理定律；?（2）尋求問題中各個(gè)函數(shù)與變量之間的內(nèi)在關(guān)系；?（3）列出微分方程；?（4）列出該微分方程的初始條件或其他條件；?（5）求解微分方程；?（6）求出實(shí)際問題的解答。例1：馬爾薩斯（Malthus）人口模型例1：馬爾薩斯（Malthus）人口模型例1：馬爾薩斯（Malthus）人口模型例1：馬爾薩斯（Malthus）人口模型例1：馬爾薩斯（Malthus）人口模型例1：馬爾

2、薩斯（Malthus）人口模型例1：馬爾薩斯（Malthus）人口模型例1：馬爾薩斯（Malthus）人口模型?模型預(yù)測(cè)：假如人口數(shù)量真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)量將以等比級(jí)數(shù)方式增長，例如，到2510年人口達(dá)到20萬億，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動(dòng)范圍，而到2670年，人口達(dá)到360萬億，只好一個(gè)人站在另一個(gè)人的肩膀上排成二層了，故Malthus模型是不完善的。例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型例2：洛杰斯

3、蒂克（Logistic）模型例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型2007年A題：中國人口增長預(yù)測(cè)?中國是一個(gè)人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，對(duì)中國人口做出分析和預(yù)測(cè)是一個(gè)重要問題。?近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，例如，老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。2007年初發(fā)布的《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告》(附錄1)還做出了進(jìn)一步的分析。?關(guān)于中國人口問題已有多方面的研究，

4、并積累了大量數(shù)據(jù)資料。見附錄2。試從中國的實(shí)際情況和人口增長的上述特點(diǎn)出發(fā)，建立中國人口增長的數(shù)學(xué)模型，并由此對(duì)中國人口增長的中短期和長期趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)；特別要指出你們模型中的優(yōu)點(diǎn)與不足之處。問題分析：?60歲以上人口，即老齡人口的死亡率較高，老齡化的加速主要體現(xiàn)在人口的平均死亡率的提高；?而出生人口性別比持續(xù)升高則體現(xiàn)為女性人口在總?cè)丝谥械谋戎亟档?，?dǎo)致新生人口數(shù)量改變；?相似地，農(nóng)村人口遷到城鎮(zhèn)后，受當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)、文化、環(huán)境等因素的影響，其對(duì)應(yīng)的生育率、死亡率、出生人口性別比都會(huì)產(chǎn)生改變；因此，死亡率和出生人口性別比以及遷移率的改

5、變，勢(shì)必會(huì)對(duì)人口的總體增長產(chǎn)生影響。而中國人口的上述特點(diǎn)正是通過以上的幾個(gè)指標(biāo)對(duì)人口的總量改變施加影響。?基于以上考慮，本題的建模過程就是尋找人口總量和生育率、死亡率、出生人口性別比、以及遷移率函數(shù)關(guān)系的過程。模型建立?首先，使用學(xué)生化殘差方法對(duì)附件中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并對(duì)其中的異常數(shù)據(jù)進(jìn)行剔除處理。?將人口老齡化、出生性別比以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等不易量化的因素，轉(zhuǎn)化為人口的死亡率、生育率、出生人口性別比、以及城鎮(zhèn)鄉(xiāng)人口的變化（遷移率）等指標(biāo)，并對(duì)常用的Leslie模型進(jìn)行一定程度的改進(jìn)，建立差分方程模型?！?：傳染病模型S

6、I（模型一）問題假設(shè)：?(1)設(shè)某地區(qū)共有n人.?（2）一人得病后，既不會(huì)康復(fù)，也不會(huì)在傳染期內(nèi)死亡。?（3）單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)已感染者將疾病傳播給k0個(gè)人（k0為常數(shù))。為什么假設(shè)不會(huì)死亡？（因?yàn)樗劳龊蟊悴粫?huì)再傳播疾病，因而可認(rèn)為此時(shí)已退出系統(tǒng)）例3：傳染病模型SI（模型一）模型建立：I（t）——表示t時(shí)刻病人的數(shù)量，時(shí)間：天則：I(t+Δt)-I(t)＝k0I(t)Δt于是模型如下：?dI??k0I(t)?dt?I(0)?I?0k0t模型的解：I(t)?I0e例3：傳染病模型SI（模型一）反映了傳染病流行初期病人的增長情況，在醫(yī)

7、學(xué)上有一定的參考價(jià)值。建模失敗的原因在于：在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在改進(jìn)的模型中必須區(qū)別這兩種人。例3：傳染病模型SI（模型二）設(shè)t時(shí)刻健康人數(shù)為S(t)．模型假設(shè)：（1）總?cè)藬?shù)為n，I(t)十S(t)＝n（2）一人得病后，久治不愈，且在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。（3）一個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)健康的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（稱之為傳染系數(shù)）例3：傳染病模型SI（模型二）?dI??kS(t).I(t)?dt?I(0)?I?0方程的解：nI(t)??n??knt1???1

8、?e??I?0?例3：傳染病模型SI（模型二）傳染病人數(shù)與時(shí)間t關(guān)系傳染病人數(shù)的變化率與時(shí)間t的關(guān)系傳染病人數(shù)由開始到高峰并增長速度由低增至最高后逐漸達(dá)到穩(wěn)定降落下來例3：傳染病模型SI（模型二）nln(?1)2I此時(shí)dI計(jì)算高峰期得：0?0t?20dtkn意義