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《Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、數(shù)學(xué)年刊2013，34A(1)：111—128Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)冰姚裕豐提要Poisson代數(shù)是指同時(shí)具有結(jié)合代數(shù)結(jié)構(gòu)和李代數(shù)結(jié)構(gòu)的一類代數(shù)，其結(jié)合代數(shù)結(jié)構(gòu)和李代數(shù)結(jié)構(gòu)滿足Leibniz法則．確定了特征為0和特征為P>0的基域上的Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)．關(guān)鍵詞Poisson代數(shù)，Witt代數(shù)，Virasoro代數(shù)，形變，Leibniz法則MR(2000)主題分類17B63，17B68，17B70中圉法分類O152．5文獻(xiàn)標(biāo)志碼A文章編號(hào)1000—
2、8314(2013)01—0111-181引言代數(shù)的形變理論最早由Gerstenhaber[】提出并得到了深入的發(fā)展．而Poisson代數(shù)的形變理論是其中一個(gè)很有意義的課題．在Poisson代數(shù)的形變中，如果只改變李代數(shù)結(jié)構(gòu)而不改變結(jié)合代數(shù)結(jié)構(gòu)，則一般來說Leibniz法則不再成立．應(yīng)對(duì)結(jié)合代數(shù)的結(jié)構(gòu)做怎樣的形變才能使得和形變的李代數(shù)結(jié)構(gòu)共同滿足Leibniz法則呢?從而提出如下問題：對(duì)于一個(gè)李代數(shù)，設(shè)其李括積為[一，一]，尋找一個(gè)結(jié)合代數(shù)結(jié)構(gòu)，使得下面的Leibniz法則成立：[X木Y，Z]=[X，]水Y+爿c【Y，】，V
3、，Y，Z∈L．同時(shí)具有結(jié)合代數(shù)結(jié)構(gòu)和李代數(shù)結(jié)構(gòu)并且滿足Leibniz法則的代數(shù)稱為Poisson代數(shù)．Kubo[。]研究了特征零情形下有限維Poisson代數(shù)．一方面，他證明了如果作為結(jié)合代數(shù)是半單的，則其Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)是標(biāo)準(zhǔn)的．另一方面，如果作為李代數(shù)是半單的，則其Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)是平凡的．同時(shí)，Kubo還給出了具有簡(jiǎn)約李代數(shù)結(jié)構(gòu)的有限維非交換Poisson代數(shù)的一些刻畫．之后Kubo[】進(jìn)一步確定了仿射Kac—Moody代數(shù)上的所有Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)．在Kubo的工作基礎(chǔ)之上，靳全勤和佟潔[s-12】系
4、統(tǒng)地研究了擴(kuò)張仿射Kac—Moody代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)．本文確定了基域特征為0和特征為P>0上的witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)上的Poisson代數(shù)結(jié)構(gòu)．2預(yù)備知識(shí)在本文中，我們假設(shè)F是具有任意特征的基域，所有的模(向量空間)都定義在F本文2010年12月3日收到，2012年4月8日收到修改稿．上海海事大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海201306．E—mail：yfyao@shmtu．edu．a(chǎn)n本文受到國(guó)家自然科學(xué)基金(No．11126062，No．11201293)和上海市教委科研創(chuàng)新基金(No．13YZ077)的資助．
5、112數(shù)學(xué)年刊34卷A輯2．1素特征域上的Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)在這一小節(jié)，假定基域F具有特征P>0．根據(jù)定義，F(xiàn)上的Witt代數(shù)w(1)是維的李代數(shù)，具有線性基{e一，e0，?，ep-。)，其李括積滿足=．根據(jù)定義，F(xiàn)(charF>3)上的Virasoro代數(shù)Vir是Witt代數(shù)w(1)的一維中心擴(kuò)張．即Vir是+1)一維的李代數(shù)，具有線性基{d一1，do，?，一2，％)，其李括積滿足Ida,dA=(j-i+_j+一J若_1P一2且【dt，d1=0，一1≤i≤P一
6、2(2．3)2．2特征零域上的Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)在這一小節(jié)，假定基域F的特征為零．根據(jù)定義，F(xiàn)上的witt代數(shù)w是一個(gè)無限維李代數(shù)，具有線性基{eili∈z)，其李括積滿足【ei，ej]=(J—i)ei+J，Vi，J∈z．根據(jù)定義，F(xiàn)上的Virasoro代數(shù)Vir是Witt代數(shù)w的一維中心擴(kuò)張，即Vir具有線性基{dk，％fk∈z)，其李括積滿足[d，dj]：(J—i)dt+J+{，一J!-_d'o，Vi,J∈z(2．4)且【dt，d】=0，Vi∈z．(2．5)2．3Poisson代數(shù)下面定義Poisson代
7、數(shù)．定義2．1基域F上的Poisson代數(shù)(，，【一，一])是F上的一個(gè)向量空間，同時(shí)具有結(jié)合代數(shù)乘積以及李代數(shù)結(jié)構(gòu)[一，一】，且以下的Leibniz法則成立：(ab，CJ=[a，c]b+a[b，c]，Va，b，c∈A．(2．6)注2．1定義2．1中的(2．6)等價(jià)于下面的條件：[a，bC]=[a，b]C+b[a，c]，Va，b，C∈A定義2．2兩個(gè)Poisson代數(shù)(，，[一，一])和(，，[一，一】)稱為同構(gòu)的，如果作為結(jié)合代數(shù)(，)與(，)同構(gòu)，且作為李代數(shù)(A，[_，一])與(A，[一，一])同構(gòu)．有兩類Poisso
8、n代數(shù)(A，，[一，一】)是最簡(jiǎn)單的，即具有任意一個(gè)結(jié)合代數(shù)結(jié)構(gòu)，且，A1=0，以及具有任意一個(gè)李代數(shù)結(jié)構(gòu)，且A=0．設(shè)(A，，[一，一])是一個(gè)Poisson代數(shù)．如果作為結(jié)合代數(shù)，B是(，)的一個(gè)子代數(shù)(理想)，則稱B為的一個(gè)一子代數(shù)(理想)．如果作為李代數(shù)，A是(，f一，一1)的一個(gè)
