《RK求解微分方程》PPT課件

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1、Runge-Kutta積分方法由此得到高階的單步法。但是，往往右函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)或者無法直接得到、或者計算太過復(fù)雜。所以實際的做法是：用[tn,tn+1]區(qū)間中解曲線鄰域的一些已知點函數(shù)值的線性組合來代替F(t,Y)的導(dǎo)數(shù)，從而得到高階的單步法公式。例此處即通過計算已知點的函數(shù)值(K1,K2)的線性組合代替高階導(dǎo)數(shù)，得到了較高的精度。Runge-Kutta方法的推導(dǎo)Runge-Kutta方法的一般形式：確定了階數(shù)之后，再通過Taylor展開、比較兩邊系數(shù)的方法，確定各待定系數(shù)：二階顯式Runge-Kutta方法展開各項如下：其中二階顯式Runge-Kutta方法要使

2、得方法是二階的，則局部截斷誤差應(yīng)該為三階小量，即：例結(jié)果及比較三階顯式Runge-Kutta方法在推導(dǎo)二階顯式方法的過程中，注意到局部截斷誤差表達式中h3項包含了以下表達式：因此若要在局部截斷誤差中消去h3項，必須增加包含了以上各項的多個方程，同時我們注意到r=2時，只有等四個待定系數(shù)，少于方程的數(shù)目，所以這樣的系數(shù)不存在。故：r=2時Runge-Kutta方法只能是二階的。要得到三階的方法，則必須有r=3。三階顯式Runge-Kutta方法四階顯式Runge-Kutta方法四階顯式Runge-Kutta方法xnxn+h/2xn+hf1f2f3f4x四階二階真解四

3、階誤差二階誤差0.01.0000001.0000001.0000000.00000.0000000.11.1048291.1024501.1048291.60E-72.38E-30.21.2185971.2115071.2185973.40E-77.09E-30.31.3401411.3257661.3401415.48E-71.44E-20.41.4681751.4436711.4681757.69E-72.45E-20.51.6012781.5635061.6012799.95E-73.78E-20.61.7378801.6833741.7378811.20E

4、-65.45E-20.71.8762461.8011791.8762471.42E-67.51E-20.82.0144571.9146032.0144591.68E-69.99E-20.92.1503952.0210862.1503971.96E-61.29E-11.02.2817162.1178002.2817182.32E-61.64E-1例結(jié)果及比較結(jié)果及比較關(guān)于Runge-Kutta方法提高Runge-Kutta方法的精度的方法提高精度最簡單的方法是縮短步長，但要以犧牲計算速度和積累舍入誤差為代價。變步長的Runge-Kutta方法作為妥協(xié)，如果能在計算過

5、程中實時控制步長的大小，就可以在獲得較高的計算速度的同時，保證較高的精度。Runge-Kutta-Fehlberg方法Fehlberg設(shè)計了一個更加精巧的嵌套方法如下：Runge-Kutta-Fehlberg方法Fehlberg給出的四階、五階公式RKF4(5)如下：Runge-Kutta-Fehlberg方法七階、八階RKF7(8)Runge-Kutta-Fehlberg方法七階、八階RKF7(8)單步法作業(yè)