求解微分方程.ppt

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1、第七章微分方程§1微分方程的基本概念例一曲線通過點(1,2)，且曲線上任意點切線的斜率均等于切點橫坐標的2倍，求這曲線的方程。例列車在平直線路上以20m/s的速度行駛，制動時列車獲得加速度?0.4m/s2。問開始制動到停止需多少時間？這段時間列車又走了多遠？微分方程的定義定義含有未知函數(shù)的導數(shù)(或微分、偏導數(shù))的函數(shù)方程叫做微分方程，未知函數(shù)是一元函數(shù)叫做常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)叫做偏微分方程；其中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導數(shù)(或微分、偏導數(shù))的最高階數(shù)叫做該微分方程的階。n階微分方程的一般形式：(2)n階微分

2、方程的含有n個獨立的任意常數(shù)的解稱為它的通解；通解中確定了任意常數(shù)的解稱為特解。微分方程的解定義(1)對于微分方程設函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導數(shù)，如果在區(qū)間I上滿足則稱y??(x)是方程在區(qū)間I上的一個解，其圖形稱為積分曲線。說明：(1)n階微分方程的解中最多只能含有n個獨立的任意常數(shù)。(2)微分方程的通解不一定包含它的全部解。如方程不包含特解y?0。(3)y(x0)=y0，y?(x0)=y1，…稱為初始條件(或初值)。帶有初始條件的微分方程問題稱為初值問題。微分方程解決實際問題的步驟(1)分析問

3、題，建立微分方程并提出定解條件。(2)求微分方程的通解。(3)由定解條件定出任意常數(shù)，即求出特解。(4)討論所得解的性質和意義。例證明x?C1coskt?C2sinkt是方程的通解(k?0),并求滿足初始條件的特解求曲線所滿足的微分方程.例.已知曲線上點P(x,y)處的法線與x軸交點為Q解:如圖所示,令Y=0,得Q點的橫坐標即點P(x,y)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,作業(yè)(P298)：3(2)，5(2)，6。§2可分離變量的微分方程?一階微分方程的一般形式：F(x,y,y’)?0,或y’?f(x,y)

4、,或寫成對稱形式：P(x,y)dx?Q(x,y)dy。?一個一階微分方程稱為可分離變量的微分方程，如果能把它寫成形式g(y)dy?f(x)dx。若G(y)、F(x)分別是g(y)、f(x)的原函數(shù)，得例求微分方程的通解。例解方程例已知鈾的衰變速度與含量M成正比(比例系數(shù)?)。若t?0時鈾的含量為M0，求時刻t時鈾的含量M(t)。解由題設條件得微分方程由條件M(0)?M0得C?M0，所以tMM0鈾的衰變規(guī)律例.解初值問題解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C為任意常數(shù))故所求特解為練習(P304)：

5、1(1)(5)(7)(10)，2(2)，4，6。作業(yè)§3齊次方程在一階微分方程y’?f(x,y)中，如果f(x,y)可以化為則該方程稱為齊次方程。如何求解？例解方程例.解微分方程例.解微分方程作業(yè)P309：1(1)(6)，2(3),3；§4一階線性微分方程?本節(jié)討論一階線性微分方程(1)(2)叫做對應于非齊次線性方程(1)的齊次線性方程。Q(x)?0時稱為一階非齊次線性微分方程，Q(x)?0時稱為一階齊次線性微分方程。分離變量法這里表示P(x)的任一原函數(shù)。(3)一階齊次線性方程(2)的解法得方程(2)的通解

6、注：通解(3)包含了方程(2)的全部解。常數(shù)變易法，令一階非齊次線性方程(1)的解法用常數(shù)變易法解非齊次方程的步驟：1.求出相應的齊次方程的通解；2.將通解中的任意常數(shù)C變?yōu)楹瘮?shù)C(x)，然后代入非齊次方程求出C(x)。3.非齊次方程的通解等于對應齊次方程的通解與方程的任意一個特解之和。例解方程習題(315)：1(3)(9)，2(5)，6，7(3)。作業(yè)§5可降階的高階微分方程三種可降階的高階微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程y(n)?f(x)型積分一次再積分一次共積分n次，便得到含n個

7、任意常數(shù)的通解：——可逐次積分求得通解例求y’’’?e2x?cosx的通解。解y???f(x,y?)型令y??p，方程變?yōu)閜??f(x,p)，設其通解為p??(x,C1)，——不顯含y即y’??(x,C1)，說明：對于方程y(n)?f(x,y(n?1))，可令y(n?1)?p而化為一階微分方程p??f(x,p)。例求微分方程(1?x2)y???2xy?的通解及滿足初始條件y(0)?1,y’(0)?3的特解。y?x3?3x?1。例解方程這時仍令y??p作為新未知函數(shù)，方程變?yōu)?，設其通解為p??(y,C1)，則y

8、???f(y,y?)型——不顯含x例解方程例.解初值問題習題(P323)：1(2)(6)(10)，2(2)(4)(5)，3作業(yè)§6高階線性微分方程一、二階線性微分方程舉例例1求彈簧振子的運動規(guī)律x(t)。xOx自由振動的微分方程強迫振動的微分方程這就是串聯(lián)電路的振蕩方程，其中例2設由電阻R、電感L、電容C和電源E?Emsin?t串聯(lián)組成的電路中，電容C兩極板間的電壓為uC，則有二、函數(shù)的線性相關與線