半格頂點代數(shù)的表示與TKK代數(shù)的分次自同構(gòu)群

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1、廈門大學(xué)碩士學(xué)位論文半格頂點代數(shù)的表示與TKK代數(shù)的分次自同構(gòu)群姓名：葉從峰申請學(xué)位級別：碩士專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：譚紹濱20080401摘要頂點代數(shù)是二十世紀(jì)末發(fā)展起來的一類新的數(shù)學(xué)研究對象，它與仿射Kae—Moody代數(shù)的表示理論以及物理中的共形場理論有緊密的聯(lián)系([Bol，MS])．格頂點代數(shù)是最重要、最基本的頂點代數(shù)之一．S．Berman、C．Dong和S．Tan研究了與toroidal李代數(shù)的表示理論有關(guān)的所謂“半格”頂點代數(shù)([BDT])．設(shè)L是—個偶格，屹是相應(yīng)于己的格頂點代數(shù)．作為向量空間，屹是對稱代數(shù)s(Hoct-1C[t-1】)和群代數(shù)C[L]的張量積，其中H=Coz

2、L．【BDT]中考慮的格L由ci，di(i=1，?，／／)張成，并有一個Z一值雙線性型(·，·)使得：(白，勺)=(di，dj)=0，(白，嗚)=6i,j．S．Berman、C．Dong和S．Tan將半格頂點代數(shù)定義為V：=S(H@ct-1C[t一1】)ocC[Lo]，I，其中Lc=Ezq．半格頂點代數(shù)y是格頂點代數(shù)屹的一個頂點子代數(shù)。t=1S．Berman、C．Dong和S．Tan定義了一個結(jié)合代數(shù)A．4由eQ和也生成，滿足生成關(guān)系：eo=1，ea+B=eaep，die口一eadi=(di，Q)e口，也奶=djdi，其中a，p∈Lc，1Si，J≤∥．更重要的是，他們證明了結(jié)合代數(shù)A的(不

3、可約)表示與半格頂點代數(shù)y的(不可約)表示之間有一個一一對應(yīng)．他們可以由A的一個(不可約)表示構(gòu)造出y的一個(不可約)表示，也可以由y的一個(不可約)表示得到4的一個(不可約)表示．這就意味著，為結(jié)合代數(shù)4尋找更多表示的工作是很有意義的．在本論文的第一章，我們首先定義了一個結(jié)合代數(shù)AQ．設(shè)Q=(qij)是一個元素都是非零復(fù)數(shù)的∥×∥復(fù)矩陣，并且滿足條件：吼t=1，％=啄1，(1≤i，J≤∥)．結(jié)合代數(shù)AQ由en，di生成，滿足生成關(guān)系：e。=1，eQeo=(II諺啦)e口+盧，dtea—e口dt=(di，乜)eQ，以嘭=彩也，1≤t

4、i，J≤∥．當(dāng)Q的所有元素都為1i=1{=1時，結(jié)合代數(shù)AQ就是[BDT]中定義的結(jié)合代數(shù)A．接下來，我們構(gòu)造了兩類不可約AQ一模：V(a1I．一，a∥_1'b)和v(a)．另外，我們也研究了這兩類模的自同構(gòu)群．A1型擴張仿射李代數(shù)的分類依賴于從歐氏空間中的半格構(gòu)造的TKK代數(shù)．從歐氏空間的一個半格S出發(fā)，可以定義一個Jordan代數(shù)了(S)，然后利用所謂的Tits-Kantor—Koecher構(gòu)造法可以得到一個TKK代數(shù)，進(jìn)而得到一個A1型的擴張仿射李代數(shù)．B．Allison、N．Azam和S．Berman等人證明了，歐氏空間掣中半格的相似等價類與nullity為∥的A1型擴張仿射根系的

5、同構(gòu)等價類一一對應(yīng)([AABGP])．在歐氏空間R2中，只有兩個不相似的半格S和S7，其中S是格而S7是非格半格．Jordan代數(shù)了(S)和了(S7)都有一個自然的Z2一分次．這個分次自然地誘導(dǎo)出TKK代數(shù)鄉(xiāng)(歹(S))和BabyTKK代數(shù)9(了(S，))上的一個z2一分次．在本論文的第二章，我們分別研究了TKK代數(shù)鄉(xiāng)(歹(S))和BabyTKK代數(shù)9(歹(S，))的z2一分次自同構(gòu)群．關(guān)鍵詞：半格頂點代數(shù)、表示、Jordan代數(shù)、TKK代數(shù)、分次自同構(gòu)群IVAbstractVertexalgebrasareanewclassofmathematicalobjectdevelopedint

6、heendofthetwentiethcentury．Theirdefinitioniswellmotivatedbothbyrepre-sentationtheoryofaffineKauc—Moodyalgebrasandtheconformalfieldtheoryinphysics．(cf．[Bol，MS])Thelatticevertexalgebrasformoneofthemostimportantandfunda-mentalclassesofvertexalgebras．S．Berman，C．DongandS．Tanstudiedtherepresentationtheo

7、ryforcertain“halflattice”vertexalgebraswhicharerelatedtothestudyingoftherepresentationtheoryfortoroidalLieal—gebras([BDT])．LetLbeanevenlatticeandlet圪betheassociatedlatticevertexalgebra．Asavectorspace，vListhetenso