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《代數(shù)系統(tǒng)－半群與群(I)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、有限集合上的運(yùn)算設(shè)S={a1,a2,a3.a4,a5},為其上的二元運(yùn)算則該運(yùn)算可用表來表示：中間是運(yùn)算結(jié)果，運(yùn)算次序為行標(biāo)為先列標(biāo)后＊a1a2a3a4a5a1a1＊a1a1＊a2a1＊a3a1＊a4a1＊a5a2a2＊a1a2＊a2a2＊a3a2＊a4a2＊a5a3a3＊a1a3＊a2a3＊a3a3＊a4a3＊a5a4a4＊a1a4＊a2a4＊a3a4＊a4a4＊a5a5a5＊a1a5＊a2a5＊a3a5＊a4a5＊a5集合S={1，2}的冪集上的對稱差運(yùn)算表+Ф{1}{2}{1,2}ФФ{1}{2}{1,2}{1}{1}Ф{1
2、,2}{2}{2}{2}{1,2}Ф{1}{1,2}{1,2}{2}{1}Ф設(shè)B={0,a,b,1}S1={a,1}S2={0,1}S3={a,b}二元運(yùn)算+和由表給出問答并說明理由：1）的代數(shù)系統(tǒng)嗎？2）是代數(shù)系統(tǒng)嗎？是的子代數(shù)嗎？3）是的子代數(shù)嗎？4）是代數(shù)系統(tǒng)嗎？+0ab100ab1aaa11bb1b1111110ab100000a0a0ab00bb10ab1第十一章半群與群§11．1半群與獨異點半群與獨異點都是具有
3、一個二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)．一、定義(1)設(shè)V=是代數(shù)系統(tǒng)，o為二元運(yùn)算，如果o是可結(jié)合的，則稱V為半群(2)設(shè)V=是半群，若e∈S是關(guān)于o運(yùn)算的單位元，則稱V是幺半群，也叫做獨異點．有時也將獨異點V記作(S，o，e)。例：常規(guī)的半群，Z+正整數(shù)，，，都是半群以上半群中除外都是獨異點例：設(shè)n是大于1的正整數(shù)，n階實矩陣的加法n階實矩陣的乘法都是半群，也都是獨異點（幺元？）例：+為集合的對稱差運(yùn)算是半群，
4、也是獨異點（?）例：Zn={0，1，2，···，n一1}+n為模n加法是半群，也是獨異點（0）例：o為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算．是半群，也是獨異點（IA)(3)半群中元素的冪定義：對于半群V=o是可結(jié)合的，元素的冪:?x∈S規(guī)定：x1=x,xn+1=xnoxn∈Z+用數(shù)學(xué)歸納法可證明冪運(yùn)算滿足規(guī)則：xnoxm=xn+m(xn)m=xnm普通數(shù)乘法的冪、關(guān)系的冪、矩陣乘法的冪等都遵從這個冪運(yùn)算規(guī)則（4）獨異點中的元素的冪:獨異點V=?x∈S規(guī)定：x0=e,xn+1=xnoxn∈N(5)子半群和
5、子獨異點半群的子代數(shù)叫做子半群，獨異點的子代數(shù)叫做子獨異點1）如果V=是半群，T?S，T對V中的運(yùn)算o封閉，則是V的子半群．2）如果V=是獨異點，T?S，T對V中的運(yùn)算o封閉，且e∈T，則=是V的子獨異點．例：其中R為非零實數(shù)集合o運(yùn)算定義如下：?x,y∈Rxoy=y是半群例：設(shè)S={(a0)a,b∈R}二階矩陣，其上的運(yùn)算為矩陣的乘法0b二階單位矩陣為幺元a0V=為獨異點T={(00)a∈R}T是S的子集且對運(yùn)算封閉，則V1=是V的子半群由于e不屬于T
6、,且V1中沒有幺元所以V1不是V的子獨異點二、半群和獨異點的同態(tài)映射(1)設(shè)Vl=<{Sl，o>，V2=是半群函數(shù)f：Sl→S2若對任意的x,y∈Sl有f(xoy)=f(x)f(y)運(yùn)算的象等于象的運(yùn)算則稱f為半群Vl到V2的同態(tài)映射，簡稱為同態(tài)．(2)設(shè)Vl=<{Sl，o，e1>，V2=是獨異點，函數(shù)f：Sl→S2若對任意的x,y∈Sl有f(xoy)=f(x)f(y)運(yùn)算的象等于象的運(yùn)算且f(e1)=e2則稱f為獨異點Vl到V2的同態(tài)映射，簡稱同態(tài)．例：上面的例子可定義V到V1的同態(tài)映射f是個半群自同態(tài)
7、例：與是二個半群及獨異點建立映射f:N→N4f(x)=x(mod4)可驗證f是保持運(yùn)算的例：設(shè)S={a,b,c}運(yùn)算表為右邊，V=為半群構(gòu)造V1=定義函數(shù)fa(x)=axfa∈SS其中的運(yùn)算o為函數(shù)的復(fù)合則V1也是半群abcaabcbbcaccabfa(a)=afa(b)=bfa(c)=cfb(a)=bfb(b)=cfb(c)=afc(a)=cfc(b)=afc(c)=b建立S到SS的映射h:S→SSh(x)=fxh(ab)=fab因為fab（x)=(ab)x=a(bx)=fa(fb(x
8、))=(faofb)(x)所以有h(ab)=fab=faofb是保持運(yùn)算的映射所以h是V到V1的半群同態(tài)若取值域h（S)={fa,fb,fc}?SS那么V2=則h是V到V2的半群同構(gòu)Ofafbfcfafafbfcfbfbfcfafc
