代數(shù)系統(tǒng)－半群與群(I)

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1、有限集合上的運(yùn)算設(shè)S={a1,a2,a3.a4,a5},為其上的二元運(yùn)算則該運(yùn)算可用表來(lái)表示：中間是運(yùn)算結(jié)果，運(yùn)算次序?yàn)樾袠?biāo)為先列標(biāo)后＊a1a2a3a4a5a1a1＊a1a1＊a2a1＊a3a1＊a4a1＊a5a2a2＊a1a2＊a2a2＊a3a2＊a4a2＊a5a3a3＊a1a3＊a2a3＊a3a3＊a4a3＊a5a4a4＊a1a4＊a2a4＊a3a4＊a4a4＊a5a5a5＊a1a5＊a2a5＊a3a5＊a4a5＊a5集合S={1，2}的冪集上的對(duì)稱差運(yùn)算表+Ф{1}{2}{1,2}ФФ{1}{2}{1,2}{1}{1}Ф{1

2、,2}{2}{2}{2}{1,2}Ф{1}{1,2}{1,2}{2}{1}Ф設(shè)B={0,a,b,1}S1={a,1}S2={0,1}S3={a,b}二元運(yùn)算+和由表給出問(wèn)答并說(shuō)明理由：1）的代數(shù)系統(tǒng)嗎？2）是代數(shù)系統(tǒng)嗎？是的子代數(shù)嗎？3）是的子代數(shù)嗎？4）是代數(shù)系統(tǒng)嗎？+0ab100ab1aaa11bb1b1111110ab100000a0a0ab00bb10ab1第十一章半群與群§11．1半群與獨(dú)異點(diǎn)半群與獨(dú)異點(diǎn)都是具有

3、一個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)．一、定義(1)設(shè)V=是代數(shù)系統(tǒng)，o為二元運(yùn)算，如果o是可結(jié)合的，則稱V為半群(2)設(shè)V=是半群，若e∈S是關(guān)于o運(yùn)算的單位元，則稱V是幺半群，也叫做獨(dú)異點(diǎn)．有時(shí)也將獨(dú)異點(diǎn)V記作(S，o，e)。例：常規(guī)的半群，Z+正整數(shù)，，，都是半群以上半群中除外都是獨(dú)異點(diǎn)例：設(shè)n是大于1的正整數(shù)，n階實(shí)矩陣的加法n階實(shí)矩陣的乘法都是半群，也都是獨(dú)異點(diǎn)（幺元？）例：+為集合的對(duì)稱差運(yùn)算是半群，

4、也是獨(dú)異點(diǎn)（?）例：Zn={0，1，2，···，n一1}+n為模n加法是半群，也是獨(dú)異點(diǎn)（0）例：o為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算．是半群，也是獨(dú)異點(diǎn)（IA)(3)半群中元素的冪定義：對(duì)于半群V=o是可結(jié)合的，元素的冪:?x∈S規(guī)定：x1=x,xn+1=xnoxn∈Z+用數(shù)學(xué)歸納法可證明冪運(yùn)算滿足規(guī)則：xnoxm=xn+m(xn)m=xnm普通數(shù)乘法的冪、關(guān)系的冪、矩陣乘法的冪等都遵從這個(gè)冪運(yùn)算規(guī)則（4）獨(dú)異點(diǎn)中的元素的冪:獨(dú)異點(diǎn)V=?x∈S規(guī)定：x0=e,xn+1=xnoxn∈N(5)子半群和

5、子獨(dú)異點(diǎn)半群的子代數(shù)叫做子半群，獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)叫做子獨(dú)異點(diǎn)1）如果V=是半群，T?S，T對(duì)V中的運(yùn)算o封閉，則是V的子半群．2）如果V=是獨(dú)異點(diǎn)，T?S，T對(duì)V中的運(yùn)算o封閉，且e∈T，則=是V的子獨(dú)異點(diǎn)．例：其中R為非零實(shí)數(shù)集合o運(yùn)算定義如下：?x,y∈Rxoy=y是半群例：設(shè)S={(a0)a,b∈R}二階矩陣，其上的運(yùn)算為矩陣的乘法0b二階單位矩陣為幺元a0V=為獨(dú)異點(diǎn)T={(00)a∈R}T是S的子集且對(duì)運(yùn)算封閉，則V1=是V的子半群由于e不屬于T

6、,且V1中沒(méi)有幺元所以V1不是V的子獨(dú)異點(diǎn)二、半群和獨(dú)異點(diǎn)的同態(tài)映射(1)設(shè)Vl=<{Sl，o>，V2=是半群函數(shù)f：Sl→S2若對(duì)任意的x,y∈Sl有f(xoy)=f(x)f(y)運(yùn)算的象等于象的運(yùn)算則稱f為半群Vl到V2的同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱為同態(tài)．(2)設(shè)Vl=<{Sl，o，e1>，V2=是獨(dú)異點(diǎn)，函數(shù)f：Sl→S2若對(duì)任意的x,y∈Sl有f(xoy)=f(x)f(y)運(yùn)算的象等于象的運(yùn)算且f(e1)=e2則稱f為獨(dú)異點(diǎn)Vl到V2的同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱同態(tài)．例：上面的例子可定義V到V1的同態(tài)映射f是個(gè)半群自同態(tài)

7、例：與是二個(gè)半群及獨(dú)異點(diǎn)建立映射f:N→N4f(x)=x(mod4)可驗(yàn)證f是保持運(yùn)算的例：設(shè)S={a,b,c}運(yùn)算表為右邊，V=為半群構(gòu)造V1=定義函數(shù)fa(x)=axfa∈SS其中的運(yùn)算o為函數(shù)的復(fù)合則V1也是半群abcaabcbbcaccabfa(a)=afa(b)=bfa(c)=cfb(a)=bfb(b)=cfb(c)=afc(a)=cfc(b)=afc(c)=b建立S到SS的映射h:S→SSh(x)=fxh(ab)=fab因?yàn)閒ab（x)=(ab)x=a(bx)=fa(fb(x

8、))=(faofb)(x)所以有h(ab)=fab=faofb是保持運(yùn)算的映射所以h是V到V1的半群同態(tài)若取值域h（S)={fa,fb,fc}?SS那么V2=則h是V到V2的半群同構(gòu)Ofafbfcfafafbfcfbfbfcfafc