MonteCarlo蒙特卡洛算法算法

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1、MonteCarloSimulation簡(jiǎn)介概述蒙特卡羅(MonteCarlo)方法，或稱(chēng)計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法或隨機(jī)抽樣方法或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法，屬于計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法。起源MonteCarlo方法的基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利用。早在17世紀(jì)，人們就知道用事件發(fā)生的“頻率”來(lái)決定事件的“概率”。19世紀(jì)人們用投針試驗(yàn)的方法來(lái)決定圓周率π。成型這一方法成型于美國(guó)在第一次世界大戰(zhàn)進(jìn)研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”。該計(jì)劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來(lái)命名這種方法，為它蒙上了一

2、層神秘色彩。發(fā)展本世紀(jì)40年代電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，特別是近年來(lái)高速電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上大量、快速地模擬這樣的試驗(yàn)成為可能。實(shí)質(zhì)MonteCarlo方法也稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計(jì)理論為指導(dǎo)的一類(lèi)非常重要的數(shù)值計(jì)算方法。是指使用隨機(jī)數(shù)（或更常見(jiàn)的偽隨機(jī)數(shù)）來(lái)解決很多計(jì)算問(wèn)題的方法。與它對(duì)應(yīng)的是確定性算法。把一些復(fù)雜的東西用大量的模擬實(shí)驗(yàn)來(lái)做，最后得到一些結(jié)論?；舅枷牒驮砘舅枷耄寒?dāng)所要求解的問(wèn)題是某種事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，它們

3、可以通過(guò)某種“試驗(yàn)”的方法，得到這種事件出現(xiàn)的頻率，或者這個(gè)隨機(jī)變數(shù)的平均值，并用它們作為問(wèn)題的解。原理：抓住事物運(yùn)動(dòng)的幾何數(shù)量和幾何特征，利用數(shù)學(xué)方法來(lái)加以模擬，即進(jìn)行一種數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)。它是以一個(gè)概率模型為基礎(chǔ)，按照這個(gè)模型所描繪的過(guò)程，通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，作為問(wèn)題的近似解。。步驟可以把蒙特卡羅解題歸結(jié)為三個(gè)主要步驟：構(gòu)造或描述概率過(guò)程；實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣；建立各種估計(jì)量構(gòu)造或描述概率過(guò)程對(duì)于本身就具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題，主要是正確描述和模擬這個(gè)概率過(guò)程，對(duì)于本來(lái)不是隨機(jī)性質(zhì)的確定性問(wèn)題，比如計(jì)算定積分，就必須事先構(gòu)造一個(gè)人為的概率過(guò)程，它的某

4、些參量正好是所要求問(wèn)題的解。即要將不具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題。實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣構(gòu)造了概率模型以后，按照這個(gè)概率分布抽取隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量），這一般可以直接由軟件包調(diào)用，或抽取均勻分布的隨機(jī)數(shù)構(gòu)造。這樣，就成為實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實(shí)驗(yàn)的基本手段，這也是蒙特卡羅方法被稱(chēng)為隨機(jī)抽樣的原因。建立各種估計(jì)量一般說(shuō)來(lái)，構(gòu)造了概率模型并能從中抽樣后，即實(shí)現(xiàn)模擬實(shí)驗(yàn)后，我們就要確定一個(gè)隨機(jī)變量，作為所要求的問(wèn)題的解，我們稱(chēng)它為無(wú)偏估計(jì)。建立各種估計(jì)量，相當(dāng)于對(duì)模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行考察和登記，從中得到問(wèn)題的解。例子考慮平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方

5、形及其內(nèi)部的一個(gè)形狀不規(guī)則的“圖形”，如何求出這個(gè)“圖形”的面積呢？MonteCarlo方法是這樣一種“隨機(jī)化”的方法：向該正方形“隨機(jī)地”投擲N個(gè)點(diǎn)落于“圖形”內(nèi)，則該“圖形”的面積近似為M/N。比喻可用民意測(cè)驗(yàn)來(lái)作一個(gè)不嚴(yán)格的比喻。民意測(cè)驗(yàn)的人不是征詢(xún)每一個(gè)登記選民的意見(jiàn)，而是通過(guò)對(duì)選民進(jìn)行小規(guī)模的抽樣調(diào)查來(lái)確定可能的民意。其基本思想是一樣的。應(yīng)用科技計(jì)算中的問(wèn)題比這要復(fù)雜得多。但MonteCarlo方法廣泛地應(yīng)用于許多應(yīng)用領(lǐng)域，如計(jì)算物理學(xué)、粒子輸運(yùn)計(jì)算、量子熱力學(xué)計(jì)算、量子化學(xué)、分子動(dòng)力學(xué)與。特別在金融計(jì)算中，各方法有不可取代的優(yōu)勢(shì)。金融

6、中的應(yīng)用金融衍生產(chǎn)品（期權(quán)、期貨、掉期等）的定價(jià)及交易風(fēng)險(xiǎn)估算，問(wèn)題的維數(shù)（即變量的個(gè)數(shù)）可能高達(dá)數(shù)百甚至數(shù)千。對(duì)這類(lèi)問(wèn)題，難度隨維數(shù)的增加呈指數(shù)增長(zhǎng)，這就是所謂的“維數(shù)的災(zāi)難”(CourseDimensionality)，傳統(tǒng)的數(shù)值方法難以對(duì)付（即使使用速度最快的計(jì)算機(jī)）。MonteCarlo方法的優(yōu)勢(shì)MonteCarlo方法能很好地用來(lái)對(duì)付維數(shù)的災(zāi)難，因?yàn)樵摲椒ǖ挠?jì)算復(fù)雜性不再依賴(lài)于維數(shù)。以前那些本來(lái)是無(wú)法計(jì)算的問(wèn)題現(xiàn)在也能夠計(jì)算。為提高方法的效率，科學(xué)家們提出了許多所謂的“方差縮減”技巧。MonteCarlo模擬適用于研究復(fù)雜體系。研究具有

7、多得數(shù)不清的結(jié)構(gòu)、狀態(tài)的體系，對(duì)此我們可以采用蒙特卡洛模擬，以統(tǒng)計(jì)的方法尋找出現(xiàn)幾率最高的結(jié)構(gòu)、狀態(tài)，或相應(yīng)的有關(guān)數(shù)據(jù)。MonteCarlo方法處理的問(wèn)題MonteCarlo方法處理的問(wèn)題可以分兩類(lèi)確定性的數(shù)學(xué)問(wèn)題多重積分、求逆矩陣、解線性代數(shù)方程組、解積分方程、解某些偏微分方程邊值問(wèn)題和計(jì)算代數(shù)方程組、計(jì)算微分算子的特征值等等隨機(jī)性問(wèn)題方法在解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候應(yīng)用MonteCarlo方法主要有兩部分工作：1、用此方法模擬某一過(guò)程時(shí)，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量。2、用統(tǒng)計(jì)方法把模型的數(shù)字特征估計(jì)出來(lái)，從而得到實(shí)際問(wèn)題的數(shù)值解。用MonteCa

8、rlo計(jì)算定積分考慮積分假定隨機(jī)變量具有密度函數(shù)則用MonteCarlo計(jì)算定積分-抽取密度為e^{-x}的隨機(jī)數(shù)X_1,…X_n構(gòu)造統(tǒng)