MonteCarlo算法模擬

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1、MonteCarlo模擬內(nèi)容提綱1.引言2.MonteCarlo模擬基本思想3.隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)4.應(yīng)用實(shí)例舉例5.排隊(duì)論模擬6.MonteCarlo模擬求解規(guī)劃問(wèn)題引言(Introduction)MonteCarlo方法：蒙特卡羅方法，又稱(chēng)隨機(jī)模擬方法，屬于計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它是在上世紀(jì)四十年代中期為了適應(yīng)當(dāng)時(shí)原子能事業(yè)的發(fā)展而發(fā)展起來(lái)的。亦稱(chēng)統(tǒng)計(jì)模擬方法，statisticalsimulationmethod?利用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬的方法MonteCarlo名字的由來(lái)：MonteCarlo是摩納哥（mona

2、co)的首都，該城以賭博聞名NicholasMetropolis(1915-1999)Monte-Carlo,MonacoMonteCarlo方法的基本思想蒙特卡羅方法，或稱(chēng)計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法。源于美國(guó)在第二次世界大戰(zhàn)研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”，該計(jì)劃的主持人之一數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來(lái)命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。蒙特卡羅方法的基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利用。早在17世紀(jì)，人們就知道用事件發(fā)生的“頻率”來(lái)決定事件的“概率”

3、。19世紀(jì)人們用蒲豐投針的方法來(lái)計(jì)算圓周率π，上世紀(jì)40年代電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，特別是近年來(lái)高速電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上大量、快速地模擬這樣的試驗(yàn)成為可能。蒲豐投針實(shí)驗(yàn)：法國(guó)科學(xué)家蒲豐(Buffon)在1777年提出的蒲豐投針實(shí)驗(yàn)是早期幾何概率一個(gè)非常著名的例子。蒲豐投針實(shí)驗(yàn)的重要性并非是為了求得比其它方法更精確的π值，而是它開(kāi)創(chuàng)了使用隨機(jī)數(shù)處理確定性數(shù)學(xué)問(wèn)題的先河，是用偶然性方法去解決確定性計(jì)算的前導(dǎo)。由此可以領(lǐng)略到從“概率土壤”上開(kāi)出的一朵瑰麗的鮮花-蒙特卡羅方法(MC)蒲豐投針實(shí)驗(yàn)可歸結(jié)為

4、下面的數(shù)學(xué)問(wèn)題：平面上畫(huà)有距離為a的一些平行線，向平面上任意投一根長(zhǎng)為l(l

5、計(jì)算機(jī)模擬：formatlong;%設(shè)置15位顯示精度a=1;l=0.6;%兩平行線間的寬度和針長(zhǎng)figure;axis([0,pi,0,a/2]);%初始化繪圖板set(gca,'nextplot','add');%初始化繪圖方式為疊加counter=0;n=2010;%初始化計(jì)數(shù)器和設(shè)定投針次數(shù)x=unifrnd(0,a/2,1,n);phi=unifrnd(0,pi,1,n);%樣本空間Ωfori=1:nifx(i)

6、),‘r.’);counter=counter+1;%統(tǒng)計(jì)針與線相交的次數(shù)frame(counter)=getframe;%描點(diǎn)并取幀endendfren=counter/n;pihat=2*l/(a*fren)%用頻率近似計(jì)算πfigure(2)movie(frame,1)%播放幀動(dòng)畫(huà)1次一些人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果列于下表：實(shí)驗(yàn)者年份投計(jì)次數(shù)π的實(shí)驗(yàn)值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzari

7、ni)190134083.1415929蒙特卡羅投點(diǎn)法是蒲豐投針實(shí)驗(yàn)的推廣：在一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，該點(diǎn)落在此正方形的內(nèi)切圓中的概率應(yīng)為該內(nèi)切圓與正方形的面積比值，即n=10000;a=2;m=0;fori=1:nx=rand(1)*a;y=rand(1)*a;if((x-a/2)^2+(y-a/2)^2<=(a/2)^2)m=m+1;endenddisp(['投點(diǎn)法近似計(jì)算的π為:',num2str(4*m/n)]);xyo(a/2,a/2)基本思想由上面的例子可以看出，當(dāng)所求問(wèn)題的解是某個(gè)事件的概

8、率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，或者是與之有關(guān)的量時(shí)，通過(guò)某種試驗(yàn)的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，再通過(guò)它得到問(wèn)題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。蒙特卡羅方法的關(guān)鍵步驟在于隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生，計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)都不是真正的隨機(jī)數(shù)(由算法確定的緣故)，如果偽隨機(jī)數(shù)能夠通過(guò)一系列統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，我們也可以將其當(dāng)作真正的隨機(jī)數(shù)使用。rand('seed',0.1);rand(1)％每次運(yùn)行程序產(chǎn)生的