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《《3.1.1 特征值與特征向量》習(xí)題2》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、《3.1.1特征值與特征向量》習(xí)題21．求矩陣M＝的特征值和特征向量．2.已知矩陣M＝的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．3.已知矩陣M＝，向量α＝，β＝.(1)求向量2α＋3β在矩陣M表示的變換作用下的象；(2)向量γ＝是矩陣M的特征向量嗎？為什么？4.已知矩陣A＝，設(shè)向量β＝，試計(jì)算A5β的值．5.已知矩陣A＝，其中a∈R，若點(diǎn)P(1,1)在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P′(0，－3)(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求矩陣A的特征值及特征向量．6.已知矩陣A＝，若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)
2、特征向量α1＝，屬于特征值1的一個(gè)特征向量α2＝，求矩陣A，并寫出A的逆矩陣．7.已知矩陣A對(duì)應(yīng)的變換是先將某平面圖形上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得圖形繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°.(1)求矩陣A及A的逆矩陣B；(2)已知矩陣M＝，求M的特征值和特征向量；(3)若α＝在矩陣B的作用下變換為β，求M50β.(結(jié)果用指數(shù)式表示)8.已知二階矩陣M的一個(gè)特征值λ＝8及與其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α1＝，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(－1,2)變換成(－2,4)．(1)求矩陣M；(2)求矩陣
3、M的另一個(gè)特征值及與其對(duì)應(yīng)的另一個(gè)特征向量α2的坐標(biāo)之間的關(guān)系；(3)求直線l：x－y＋1＝0在矩陣M的作用下的直線l′的方程．9.給定矩陣M＝，N＝及向量α1＝，α2＝.(1)求證M和N互為逆矩陣；(2)求證α1和α2都是矩陣M的特征向量．10．給定矩陣M＝及向量α＝.(1)求矩陣M的特征值及與其對(duì)應(yīng)的特征向量α1，α2；(2)確定實(shí)數(shù)a，b，使向量α可以表示為α＝aα1＋bα2；(3)利用(2)中的表達(dá)式計(jì)算M3α，Mnα；(4)從(3)中的運(yùn)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？參考答案1.【解】 矩陣M的
4、特征多項(xiàng)式f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－6)．令f(λ)＝0，解得矩陣M的特征值λ1＝－1，λ2＝6.將λ1＝－1代入方程組易求得為屬于λ1＝－1的一個(gè)特征向量．將λ2＝6代入方程組易求得為屬于λ2＝6的一個(gè)特征向量．綜上所述，M＝的特征值為λ1＝－1，λ2＝6，屬于λ1＝－1的一個(gè)特征向量為，屬于λ2＝6的一個(gè)特征向量為.2．【解】 矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4因?yàn)棣?＝3為方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，設(shè)λ2＝－1對(duì)應(yīng)的
5、一個(gè)特征向量為α＝，則由得x＝－y令x＝1，則y＝－1.所以矩陣M的另一個(gè)特征值為－1，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α＝.3．【解】 (1)因?yàn)?α＋3β＝2＋3＝，所以M(2α＋3β)＝＝，所以向量2α＋3β在矩陣M表示的變換作用下的象為.(2)向量γ＝不是矩陣M的特征向量．理由如下：Mγ＝＝，向量與向量γ＝不共線，所以向量γ＝不是矩陣M的特征向量．4．【解】 矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝＝λ2－5λ＋6＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.當(dāng)λ1＝2時(shí)，得α1＝；當(dāng)λ2＝3時(shí)，得α2＝，由β＝mα1＋nα2
6、，得，得m＝3，n＝1，∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λα1)＋λα2＝3×25＋35＝.5．【解】 (1)∵＝，∴＝，∴a＝－4.(2)∵A＝，∴f(λ)＝＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，對(duì)于特征值λ1＝－1，解相應(yīng)的線性方程組得一個(gè)非零解，因此α1＝是矩陣A的屬于特征值λ1＝－1的一個(gè)特征向量．對(duì)于特征值λ2＝3，解相應(yīng)的線性方程組得一個(gè)非零解，因此α2＝是矩陣A的屬于特征值λ2＝3的一個(gè)特征向量．∴矩陣A的特征值為λ1＝－1，λ2＝3
7、，屬于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分別為，.6．【解】 由矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量α1＝，可知＝6，所以c＋d＝6，①由矩陣A屬于特征值1的一個(gè)特征向量α2＝，可知＝，所以3c－2d＝－2.②聯(lián)立①②可得解得即A＝，A的逆矩陣A－1＝.7．【解】 (1)A＝＝；B＝A－1＝.(2)設(shè)M的特征值為λ，則由條件得＝0，即(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6＝0.解得λ1＝1，λ2＝6.當(dāng)λ1＝1時(shí)，由＝，得M屬于1的特征向量為α1＝；當(dāng)λ2＝6時(shí)，由＝6，得M屬于6的特征向量為α2
8、＝.(3)由Bα＝β，得β＝＝，設(shè)＝mα1＋nα2＝m＋n＝，則由解得所以β＝－α1＋2α2.所以M50β＝M50(－α1＋2α2)＝－M50α1＋2M50α2＝－＋2×650×＝.8．【解】 (1)設(shè)矩陣M＝，則＝8＝，故由題意得＝，故聯(lián)立以上兩方程組可解得故M＝.(2)由(1)知矩陣M的特征多項(xiàng)式f(λ)＝＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16.令f(λ)＝0，解得矩陣M的另一個(gè)特征值λ＝2.設(shè)矩陣M的屬于特征值2的一個(gè)特征向量α2＝，則Mα2＝＝2，解得2x＋y＝0.
