特征值與特征向量2

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1、引例主要內(nèi)容特征值與特征向量的概念特征值與特征向量的求法特征值與特征向量的性質(zhì)第二節(jié)特征值與特征向量方程組等問題，也都要用到特征值的理論.工程技術(shù)中的一些問題，如振動問題和穩(wěn)定性問題，?？蓺w結(jié)為求一個方陣的特征值和特征向量的問題.數(shù)學(xué)中諸如方陣的對角化及解微分一、引例作下面的乘法得引例設(shè)只是原像的倍數(shù).我們可以從映射的角度看待上述運算，即由二階實矩陣A定義了一個由全體二元實向量集合R2到R2自身的一個映射，它的對應(yīng)法則??a?R2?Aa?R2.在此映射下，二元實向量a1，a2的像Aa1，Aa2為：向量有些什么性質(zhì)？從幾何上看，像與原像在一條直線上，而向量a3的像Aa3就不具有這個性

2、質(zhì).我們把a1，a2稱為矩陣A的特征向量，數(shù)-1與3分別稱為a1，a2對應(yīng)的特征值.那么，是否任何一個方陣都有特征值與特征向量？特征值與特征題.這是本節(jié)要討論的主要問量.二、特征值與特征向量的概念定義6設(shè)A是n階矩陣，如果數(shù)?和n維非零列向量x使關(guān)系式Ax=?x（1）成立，那么，這樣的數(shù)?稱為方陣A的特征值，非零向量x稱為A的對應(yīng)于特征值?的特征向1.定義

3、A-?E

4、=0，即（1）式也可寫成(A-?E)x=0，（2）這是n個未知數(shù)n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充要條件是系數(shù)行列式值.上式是以?為未知數(shù)的一元n次方程，稱為方陣A的特征方程.其左端

5、A-?E

6、是?的n次多項式，

7、記作f(?),稱為方陣A的特征多項式.顯然，A的特征值就是特征方程的解.特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，其個數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重數(shù)計算），因此，n階方陣A有n個特征2.特征值的性質(zhì)(2)?1?2···?n=

8、A

9、.設(shè)?1,?2,···,?n是n階方陣A=(aij)的n個特征值(k重特征值算作k個特征值),則(1)?1+?2+···+?n=a11+a22+···+ann;特征向量.三、特征值與特征向量的求法求矩陣A的特征值與特征向量的步驟如下：Step1：計算A的特征多項式，并求出特征方程的所有根.設(shè)矩陣A有s個不同的特征值?1,?2,···,?s.Step2:對A的每個特征值?i(

10、i=1,2,···,s),求解齊次線性方程組(A-?iE)x=0，該方程組的全部解即為矩陣A的對應(yīng)于?i的全部例7設(shè)矩陣求A的特征值與特征向量.例8設(shè)矩陣求A的特征值與特征向量.例9設(shè)矩陣求A的特征值與特征向量.例10設(shè)矩陣A為對合矩陣(即A2=E),且A的特征值都是1,證明:A=E.例11設(shè)?是方陣A的特征值.(1)證明?k是Ak的特征值(k為正整數(shù));(2)設(shè)????=a0+a1?+···+am?m,??A?=a0E+a1A+···+amAm,證明????是??A?的特征值.pm線性無關(guān).定理2設(shè)?1,?2,···,?m是方陣A的m個特征值,p1,p2,···,pm依次是與之對

11、應(yīng)的特征向量.如果?1,?2,···,?m各不相等,則p1,p2,···,四、特征值與特征向量的性質(zhì)例12設(shè)A為可逆矩陣,?為A的特征值,p為對應(yīng)的特征向量,證明:為A-1與A?的特征值,p分別為A-1與A?對應(yīng)的特征向量.分別例13設(shè)三階矩陣A的特征值為設(shè)矩陣(1)B的特征值;(2)

12、B

13、.試求:例14設(shè)?1,?2是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量依次為p1,p2,證明p1+p2不是A的特征向量.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請

14、單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕

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