公理化思想及構(gòu)成公理化體系的要求

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1、歐幾里得與《原本》Euclid（about325BC-about265BC）《幾何原本》歐幾里得（EuclidofAlexandria;約公元前330?公元前275）歐幾里得的《幾何原本》是用公理方法建立演繹數(shù)學(xué)體系的最早典范。公理化方法使數(shù)學(xué)豐富的理論建立在最簡單明了的、不容懷疑的事實基礎(chǔ)之上，容易明辨是非。比如，幾何學(xué)的正確性歸結(jié)于諸如“等量加等量，總量仍相等”等公理體系的正確性。公理化方法也是數(shù)學(xué)邏輯嚴密性的一種表現(xiàn)。在人類的每一個認識領(lǐng)域，當經(jīng)驗知識積累到相當數(shù)量時，就需要進行綜合、整理，使

2、之條理化、系列化，從而形成新的概念理論以更新系統(tǒng)，以實現(xiàn)認識從感性階段到理性階段的飛躍。從理性認識的初級水平發(fā)展到高級水平，又表現(xiàn)為抽象程度更高的公理化體系。公理體系定義公設(shè)、公理命題定義命題定義命題命題命題公理體系的完善希爾伯特（DavidHilbert;1862?1943）1899年發(fā)表著名的《幾何基礎(chǔ)》一書。引入了20條公理和6個不加解釋的定義，建立起新的幾何公理體系。公理體系的完善6個不加解釋的定義包括：「點」、「線」、「面」、「通過」、「在…之間」、「相等」20條公理分成5組：關(guān)聯(lián)公理（

3、I.1?8）、順序公理（II.1?4）、合同公理（III.1?5）、平行公理（IV.）、聯(lián)系公理（V.1?2）希爾伯特同時提出選擇公理體系的原則：相容性、獨立性、完備性對《幾何原本》的批評書中有部分的定義不清晰，閱讀后反而令人更迷惘。在論證過程之中，歐幾里得使用了一些公理系統(tǒng)未有提及的假設(shè)。對第5公設(shè)的懷疑。第五公設(shè)（平行公設(shè)）第五公設(shè)：若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。在歐氏幾何的所有公設(shè)中，唯獨這條公設(shè)顯得比較特殊，它

4、的敘述不像其它公設(shè)那樣簡潔、明了，當時就有人懷疑它不像是一個公設(shè)而更像是一個定理，并產(chǎn)生了從其它公設(shè)和定理推出這條公設(shè)的想法。歐幾里得本人對這條公設(shè)似乎也心存猶豫，并竭力推遲它的應(yīng)用，一直到卷Ⅰ命題29才不得不使用它。對第五公設(shè)的證明歷史上第一個宣稱證明了第五公設(shè)的是古希臘天文學(xué)家托勒密（約公元150），后來普洛克魯斯指出托勒密的“證明”無意中假定了過直線外一點只能作一條直線與已知直線平行。替代公設(shè)：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。幾何原理中的家丑從公元前3世紀到18世紀，證明第五公設(shè)的

5、努力始終沒有中斷。但每一種“證明”要么隱含了另一個與第五公設(shè)等價的假定，要么存在其它形式的錯誤。而且，這類工作中的大多數(shù)對數(shù)學(xué)思想的進展沒有多大現(xiàn)實意義。18世紀中葉，達朗貝爾把平行公設(shè)的證明問題稱為“幾何原理中的家丑”。薩凱里首先由鈍角假設(shè)推出了矛盾，然后考慮銳角假設(shè)，在這一過程中獲得了一系列新奇的結(jié)論：如三角形內(nèi)角和小于兩直角；過直線外一點有無數(shù)條直線與已知直線平行等。薩凱里認為它們太不合情理，便以為自己導(dǎo)出了矛盾而判斷銳角假設(shè)是不真實的。而直角假設(shè)則是與平行公設(shè)等價的。1763年，德國數(shù)學(xué)家克

6、呂格爾（G.S.Klugel）在其博士論文中首先指出薩凱里的工作實際上并未導(dǎo)出矛盾，只是得到了似乎與經(jīng)驗不符的結(jié)論?？藚胃駹柺堑谝晃粚ζ叫泄O(shè)是否可以由其它公設(shè)加以證明表示懷疑的數(shù)學(xué)家。高斯建立非歐幾何最先認識到非歐幾何是一種邏輯上相容、而且可以用來描述物質(zhì)空間的是高斯。他從1799年開始意識到平行公設(shè)不能從其它公設(shè)推導(dǎo)出來，并從1813年起建立了一種使第五公設(shè)在其中不成立的新幾何學(xué)。他起先稱之為“反歐幾里得幾何”，最后改稱為“非歐幾里得幾何”。但高斯沒有發(fā)表過任何有關(guān)非歐幾何的文章，只在跟朋友的一

7、些通信中提及，他在給一位朋友的信中說：“如果公布自己的這些發(fā)現(xiàn)，‘黃蜂就會圍著耳朵飛’，并會‘引起波哀提亞人的叫囂’”。勇敢的羅巴切夫斯基在非歐幾何的三位發(fā)明人中，羅巴切夫斯基最早、最系統(tǒng)地發(fā)表了自己的研究成果，并且也最堅定地宣傳和捍衛(wèi)自己的新思想。他于1826年在喀山大學(xué)發(fā)表了演講“簡要論述平行線定理的一個嚴格證明”，而后又于1829年發(fā)表了《論幾何原理》的論文，這是歷史上第一篇公開發(fā)表的非歐幾何文獻，但由于是用俄文發(fā)表在《喀山通訊》上的而未引起數(shù)學(xué)界的重視。勇敢的羅巴切夫斯基1840年用德文出版

8、的《平行理論的幾何研究》引起高斯的關(guān)注，這使他在1842年成為德國哥廷根科學(xué)協(xié)會會員。面對種種攻擊，羅巴切夫斯基表現(xiàn)得比高斯更有勇氣。一直到1855年，當他已是一位雙目失明的老人時，還口述發(fā)表了著作《泛幾何學(xué)》，堅信自己新幾何學(xué)的正確性。同一平面上的任何兩條直線一定相交三角形內(nèi)角和小于180度非歐幾何的發(fā)展與確認德國數(shù)學(xué)家黎曼（B.Riemann,1826-1866）于1854年發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想而建立了一種更廣泛的幾何學(xué)----黎曼幾何。(同一平面上的任何