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《《公理化體系》》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、公理化方法公理化方法公理化思想任何真正的科學(xué)都始于原理,以它們?yōu)榛A(chǔ),并由之而導(dǎo)出一切結(jié)果來(lái)隨著假設(shè)演繹模型法的進(jìn)一步發(fā)展,經(jīng)濟(jì)學(xué)日益走向公理化方法。公理化是一種數(shù)學(xué)方法。最早出現(xiàn)在二千多年前的歐幾里德幾何學(xué)中,當(dāng)時(shí)認(rèn)為“公理’(如兩點(diǎn)之問(wèn)可連一直線)是一種不需要證明的自明之理,而其他所謂“定理”(如三對(duì)應(yīng)邊相等的陌個(gè)三角形壘等)則是需要由公理出發(fā)來(lái)證明的,18世紀(jì)德國(guó)哲學(xué)家康德認(rèn)為,歐幾里德幾何的公理是人們生來(lái)就有的先驗(yàn)知識(shí),19世紀(jì)末,德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特(DavidHilbert)在他的幾何
2、基礎(chǔ)研究中系統(tǒng)地挺出r數(shù)學(xué)的公理化方法。簡(jiǎn)介恩格斯曾說(shuō)過(guò):數(shù)學(xué)上的所謂公理,是數(shù)學(xué)需要用作自己出發(fā)點(diǎn)的少數(shù)思想上的規(guī)定。公理化方法能系統(tǒng)的總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)、清楚地揭示數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ),有利于比較各個(gè)數(shù)學(xué)分支的本質(zhì)異同,促進(jìn)新數(shù)學(xué)理論的建立和發(fā)展?,F(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的基本特點(diǎn)之一,就是科學(xué)理論的數(shù)學(xué)化,而公理化是科學(xué)理論成熟和數(shù)學(xué)化的一個(gè)主要特征。公理化方法不僅在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和數(shù)理邏輯中廣泛應(yīng)用,而且已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出數(shù)學(xué)的范圍,滲透到其它自然科學(xué)領(lǐng)域甚至某些社會(huì)科學(xué)部門(mén),并在其中起著重要作用.歷史發(fā)展產(chǎn)生公理化方法發(fā)
3、展的第一階段是由亞里士多德的完全三段論到歐幾里得《幾何原本》的問(wèn)世.大約在公元前3世紀(jì),希臘哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德總結(jié)了幾何學(xué)與邏輯學(xué)的豐富資料,系統(tǒng)地研究了三段論,以數(shù)學(xué)及其它演繹的學(xué)科為例,把完全三段論作為公理,由此推導(dǎo)出其它所有三段論法,從而使整個(gè)三段論體系成為一個(gè)公理系統(tǒng).因此,亞里斯多德在歷史上提出了第一個(gè)成文的公理系統(tǒng).亞里斯多德的思想方法深深地影響了當(dāng)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得.歐幾里得把形式邏輯的公理演繹方法應(yīng)用于幾何學(xué),從而完成了數(shù)學(xué)史上的重要著作《幾何原本》.他從古代的量地術(shù)
4、和關(guān)于幾何形體的原始直觀中,用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和公理.他總結(jié)概括出10個(gè)基本命題,其中有5個(gè)公設(shè)和5條公理,然后由此出發(fā),運(yùn)用演繹方法將當(dāng)時(shí)所知的全部幾何學(xué)知識(shí)推演出來(lái),整理成為演繹體系.《幾何原本》一書(shū)把亞里斯多德初步總結(jié)出來(lái)的公理化方法應(yīng)用于數(shù)學(xué),整理、總結(jié)和發(fā)展了希臘古典時(shí)期的大量數(shù)學(xué)知識(shí),在數(shù)學(xué)發(fā)展史上樹(shù)立了一座不朽的豐碑.公理學(xué)研究的對(duì)象、性質(zhì)和關(guān)系稱為“論域”,這些對(duì)象、性質(zhì)和關(guān)系,由初始概念表示.例如歐氏《幾何原本》中只需取“點(diǎn)”、“直線”、“平面”;“在……之上”
5、、“在……之間”、“疊合”作為初始概念.前三個(gè)概念所表示的三類對(duì)象和后三個(gè)概念所表示的三種關(guān)系就是這種幾何的論域.按照“一個(gè)公理系統(tǒng)只有一個(gè)論域”的觀點(diǎn)建立起來(lái)的公理學(xué),稱為實(shí)質(zhì)公理學(xué).這種公理學(xué)是對(duì)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的系統(tǒng)整理,公理一般具有自明性.因此,歐氏《幾何原本》就是實(shí)質(zhì)公理學(xué)的典范.發(fā)展公理化方法的發(fā)展大致經(jīng)歷了這樣三個(gè)階段:實(shí)質(zhì)(或?qū)嶓w)公理化階段、形式公理化階段和純形式公理化階段,用它們建構(gòu)起來(lái)的理論體系典范分別是《幾何原本》、《幾何基礎(chǔ)》和ZFC公理系統(tǒng)。《幾何原本》雖然開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)公理化方
6、法的先河,然而它的公理系統(tǒng)還有許多不夠完善的地方,其主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:(1)有些定義使用了一些還未確定涵義的概念;(2)有些定義是多余的;(3)有些定理的證明過(guò)程往往依賴于圖形的直觀;(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理來(lái)證明或代替.這些問(wèn)題成為后來(lái)許多數(shù)學(xué)家研究的課題,并通過(guò)這些問(wèn)題的研究,使公理化方法不斷完善,并促進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展.第五公設(shè)(即平行公設(shè))內(nèi)容復(fù)雜,陳述累贅,缺乏象其它公設(shè)和公理那樣的說(shuō)服力,并不自明.因此,它能否正確地反映空間形式的性質(zhì),引起了古代學(xué)者們的懷疑
7、.從古希臘時(shí)代到公元18世紀(jì),人們通過(guò)不同的途徑和方法對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究工作,其中薩克里(Saccheri,1667—1733)和蘭勃特(Lambert,1728-1777)等人考慮了兩個(gè)可能的與平行公設(shè)相反的假設(shè),試圖證明出平行公設(shè),但是他們的努力均歸于失敗.然而,在這些失敗中卻引出了一串與第五公設(shè)相等價(jià)的新命題和定理,即非歐幾何的公理和定理,它預(yù)示了一種新的幾何體系可能產(chǎn)生.19世紀(jì)年輕的俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基(Лобачевский1792-1856)產(chǎn)生了與前人完全不同的信念:首
8、先,他認(rèn)為第五公設(shè)不能以其余的公理作為定理來(lái)證明;其次,除掉第五公設(shè)成立的歐氏幾何之外,還可能有第五公設(shè)不成立的新幾何系統(tǒng)存在.于是,他在剔除第五公設(shè)而保留歐氏幾何其余公理的前提下,引進(jìn)與第五公設(shè)相反的公理,從而構(gòu)造了一個(gè)全新的幾何系統(tǒng),它與歐氏幾何系統(tǒng)相并列.后來(lái)人們又證明了這兩個(gè)部分地相矛盾的幾何系統(tǒng)竟是相對(duì)相容的,即假定其中之一無(wú)矛盾,則另一個(gè)必定無(wú)矛盾,這樣以來(lái),只要這兩個(gè)系統(tǒng)是無(wú)矛盾的,第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理就必定獨(dú)立無(wú)關(guān).現(xiàn)在人們就用羅巴切夫斯基的名字命名了這一新的幾何學(xué),并把