公理化方法和中學(xué)幾何公理體系

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1、公理化方法和中學(xué)幾何公理體系12數(shù)學(xué)陳婷12220620摘要：數(shù)學(xué)公理化方法是研究數(shù)學(xué)的重要思想方法，它對于近代數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)的發(fā)展有過巨大作用和深遠影響，它很大程度上推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。而數(shù)學(xué)的教育更多的是方法和思想的教育，公理化方法在教學(xué)教育上有著舉足輕重的地位。本文將從幾何發(fā)展簡史、公理化方法的意義與作用等方面探究公理化方法對中學(xué)幾何公理體系的影響。關(guān)鍵詞：公理化方法；幾何學(xué)；發(fā)展史；中學(xué)幾何；教學(xué)啟示正文：一、幾何學(xué)發(fā)展簡史幾何學(xué)是一門研究『空間』與『移動』的學(xué)問.這里的『空間』指的是正統(tǒng)的『幾何空間』,包括各種具體或抽象的幾何圖形,甚至是整個宇宙空間的幾何構(gòu)造;而

2、『移動』則是這些幾何空間的表現(xiàn),例如:平移,旋轉(zhuǎn),對稱,波動等等.因此,幾何學(xué)可說是真實世界與抽象世界的舞臺與演員的演出.而數(shù)學(xué)家Descartes(笛卡兒,15961650)曾說:『人類心智與生俱來有完美,空間,時間和運動等觀念.』不論是實際生活上為了丈量與計算的需要,或是對於宇宙空間的好奇與探索,亦或是對於『美』的追求,自從人類開始生活在地球上,幾何概念的演進便未曾停歇.而幾何學(xué)的發(fā)展,也使人類開始真正認識我們所生存的宇宙空間。?在史學(xué)中，幾何學(xué)的確立和統(tǒng)一經(jīng)歷了二千多年，數(shù)百位數(shù)學(xué)家做出了不懈的努力。一）歐氏幾何的創(chuàng)始??公認的幾何學(xué)的確立源自公元300多年前，希臘數(shù)學(xué)

3、家歐幾里得著作《原本》。歐幾里得在《原本》中創(chuàng)造性地用公理法對當時所了解的數(shù)學(xué)知識作了總結(jié)。全書共有13卷，包括5條公理，5條公設(shè)，119個定義和465條命題。這些公設(shè)和公理及基本定義成為《原本》的推理的基礎(chǔ)。??歐幾里得的《原本》是數(shù)學(xué)史上的一座里程碑，在數(shù)學(xué)中確立了推理的范式。他的思想被稱作“公理化思想”。歐幾里德幾何自誕生兩千多年來，因其論證的嚴密性而被譽為完美無瑕。但到了19世紀，由于非歐幾何的創(chuàng)立，大大提高了公理化方法，數(shù)學(xué)的嚴格性標準大為提高，從而歐幾里德幾何的邏輯缺陷逐漸暴漏出來了，具體將有以下幾點：1、在歐式幾何中用了重合法來證明全等：在重合法中，首先使用了運

4、動的概念，這樣就定性了歐氏幾何屬于經(jīng)驗綜合知識，他與人的經(jīng)驗有關(guān)，不屬于純粹知識。因此沒有邏輯根據(jù)，他在證明中，移動圖形，且默認為圖形的性質(zhì)不變，這在物理經(jīng)驗中是需要非常多的約束條件的，而歐幾里德只是默認，并沒嚴格的初始約束條件，因此邏輯上的嚴格性有問題。2、幾何中的某些定義，不能自在自為自足，有時甚至使用未加定義的概念。而有些被定義的概念往往是多余的，含糊不清。對一些不能定義的初始條件反而定義，甚至是不嚴格的定義。如：點、線、面等等初始概念就不應(yīng)該定義，反而不嚴格的定義。3、引用從未提起過，且未被發(fā)覺的假定。4、證明不嚴格，許多定理的證明都依賴于感性直觀，通過對圖形的直觀來

5、證明。缺乏對直觀與抽象的區(qū)別，過分依賴于感性直觀。許多知識都是經(jīng)驗中的知識。5、在歐氏幾何的五條初始公理中，第五公理（平行線公理）引來許多爭議。在陳述上、內(nèi)容上復(fù)雜、累贅。缺乏說服力，不自明。6二）解析幾何的誕生?解析幾何是變量數(shù)學(xué)最重要的體現(xiàn)。解析幾何的基本思想是在平面上引入“坐標”的概念，并借助這種坐標在平面上的點和有序?qū)崝?shù)對（x,y）建立一一對應(yīng)的關(guān)系，于是幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。??解析幾何的真正創(chuàng)立者應(yīng)該是法國數(shù)學(xué)家迪卡兒和費馬。1637年迪卡兒在《更好的指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》的附錄《幾何學(xué)》[1]中清晰的體現(xiàn)了解析幾何的思想。而費馬則是在論平面和立體的

6、軌跡引論中闡述了解析幾何的原理，他在書中提出并使用了坐標的概念，同時建立了斜坐標系和直角坐標系。三）非歐幾何的誕生與發(fā)展??非歐幾何的誕生源于人們長久以來對歐幾里得《原本》中第五公設(shè)即平行公設(shè)的探討，但一直未得到公設(shè)的結(jié)論。直到數(shù)學(xué)家高斯、波約和俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基在自己的論著中都描述了這樣一種幾何，以“從直線外一點可以引不止一條直線平行于已知直線”作為替代公式，進行推理而得出的新的一套幾何學(xué)定理，并將它命名為非歐幾何，一般稱為“羅氏幾何”。1854年德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)展了羅巴切夫斯基的幾何思想，從而建立了一種更為一般化的幾何，稱為“黎曼幾何”。他認為歐氏幾何和羅氏幾何都是黎

7、曼幾何的一種特例。直到19世紀后期，數(shù)學(xué)家貝爾特拉米、克萊因、龐加萊在歐氏空間建立了非歐幾何的模型，非歐幾何才得到理解和承認。非歐幾何的產(chǎn)生具有三個重大意義：1、解決了平行公理的獨立性問題。推動了一般公理體系的獨立性、相容性、完備性問題的研究，促進了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這一更為深刻的數(shù)學(xué)分支的形成與發(fā)展。?2、證明了對公理方法本身的研究能推動數(shù)學(xué)的發(fā)展，理性思維和對嚴謹、邏輯和完美的追求，推動了科學(xué)，從而推動了社會的發(fā)展和進步。在數(shù)學(xué)內(nèi)部，各分支紛紛建立了自己的公理體系，包括被公認為最困難的概率論也在20世紀30年