教學(xué)案例葛曉莉

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1、教學(xué)案例鎮(zhèn)江葛曉莉（2015年安徽理科數(shù)學(xué)第18題）設(shè)是曲線在點(diǎn)（1,2）處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記證明：分析：題目的條件是由曲線在某點(diǎn)處的切線給出的，進(jìn)而設(shè)置了兩個(gè)問題，設(shè)問角度新穎，梯度明顯，體現(xiàn)了淺入深出，同時(shí)兩個(gè)問題是聯(lián)系在一起。本題是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)幾何意義、解析幾何、數(shù)列以及不等式等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，體現(xiàn)了較高的綜合性，融匯了高中數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)內(nèi)涵豐富，能力要求高。在第一問中，要求考生根據(jù)“曲線在點(diǎn)（1,2）處的切線”利用導(dǎo)數(shù)求切線方程求得切線直線并求得橫坐標(biāo)；在第二問中，要求考生必須第一問求出的的通項(xiàng)公式必須正確，即，然后利用放縮法縮小式子

2、的值從而達(dá)到所需要的式子成立，在第二問中如何放縮是個(gè)難點(diǎn)，故在證明時(shí)對(duì)作不等式放縮的技巧要求顯得比較高，多數(shù)考生即使能預(yù)測到要用到不等式的放縮來證，也一時(shí)難以找到有效的放縮技巧。解：（1）根據(jù)題意可得：，曲線曲線在點(diǎn)（1,2）處的切線斜率為，從而切線方程為：，當(dāng)時(shí)，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)：.（2）由題設(shè)和（1）計(jì)算結(jié)果得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，綜上知對(duì)任意的都有變式1：設(shè)是曲線在點(diǎn)（1,2）處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).求數(shù)列的前項(xiàng)之積解：由（1）知：變式2：已知函數(shù)，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，（其中），求數(shù)列的前項(xiàng)和解：由（1）知：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩式相減得：方法二：綜上可知：變式3：記證明

3、：證明根據(jù)第二問證明可知下面我們只需證明綜上知對(duì)任意的都有對(duì)于三道變式題目，體現(xiàn)了數(shù)列中的累乘法，錯(cuò)位相減法，以及如何進(jìn)行放縮，導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的應(yīng)用，同時(shí)還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分類討論，演繹與歸納等的數(shù)學(xué)思想。中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)只注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能是不夠的；還應(yīng)重視演繹與歸納，數(shù)學(xué)思想等；還應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中親身經(jīng)歷并逐步積累起來的解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)。第18題雖然是一道雙基題目，單憑數(shù)學(xué)知識(shí)是無法解決的，因?yàn)橹R(shí)本質(zhì)上只是一種結(jié)果，可能是一種經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果，也可能是一種思考的結(jié)果，而我們要做的是表現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)和思考的過程之中，如對(duì)問題的處理、對(duì)困難的化解以及對(duì)實(shí)質(zhì)的思考。通過此道高考題我們要要求

4、自己在教學(xué)中既要堅(jiān)持傳統(tǒng)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能這個(gè)核心的同時(shí)，再添進(jìn)數(shù)學(xué)的“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”和“基本思想”，使數(shù)學(xué)的學(xué)科價(jià)值體現(xiàn)的更好。