分類討論思想

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1、分類討論思想分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，給出每一類的結(jié)論，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答．實(shí)質(zhì)上分類討論就是“化整為零，各個(gè)擊破，再集零為整”的數(shù)學(xué)策略．分類原則：(1)所討論的全域要確定，分類要“既不重復(fù)，也不遺漏”；(2)在同一次討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；(3)對(duì)多級(jí)討論，應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí)．討論的基本步驟：(1)確定討論的對(duì)象和討論的范圍(全域)；(2)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理的分類；(3)逐

2、步討論(必要時(shí)還得進(jìn)行多級(jí)分類)；(4)總結(jié)概括，得出結(jié)論．引起分類討論的常見因素：(1)由概念引起的分類討論；(2)使用數(shù)學(xué)性質(zhì)、定理和公式時(shí)，其限制條件不確定引起的分類討論；(3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的分類討論；(4)由圖形的不確定性引起的分類討論；(5)對(duì)于含參數(shù)的問題由參數(shù)的變化引起的分類討論．簡化和避免分類討論的優(yōu)化策略：(1)直接回避．如運(yùn)用反證法、求補(bǔ)法、消參法等有時(shí)可以避開繁瑣討論；(2)變更主元．如分離參數(shù)、變參置換等可避開討論；(3)合理運(yùn)算．如利用函數(shù)奇偶性、變量的對(duì)稱、輪換以及公式的合理選用

3、等有時(shí)可以簡化甚至避開討論；(4)數(shù)形結(jié)合．利用函數(shù)圖象、幾何圖形的直觀性和對(duì)稱特點(diǎn)有時(shí)可以簡化甚至避開討論．注：能回避分類討論的盡可能回避．1.一條直線過點(diǎn)(5,2)且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為________．2.正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為________.3.函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．4.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n2＋n－1(n∈N*)，則其通項(xiàng)an＝________.【例1】　在△ABC中，已知sinB＝

4、，a＝6，b＝8，求邊c的長．【例2】　解關(guān)于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．【例3】　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0(n＝1,2，…)．(1)求q的取值范圍；(2)設(shè)bn＝an＋2－an＋1，記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，試比較Sn與Tn的大小.【例4】　已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)＝x2＋2x.(1)求函數(shù)g(x)的解析式；(2)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．1.(2009·全國)雙曲線的一條

5、漸近線方程為3x－2y＝0，則該雙曲線的離心率為________．2.(2011·遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是________．3.(2011·江蘇)已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________．4.(2010·福建)函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．5.(2011·江西)設(shè)f(x)＝x3＋mx2＋nx.(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2處取得最小值－5，求f(x)的解析式；(2)如果m＋n<10(m，n∈N＋)，

6、f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，試求m和n的值．(注：區(qū)間(a，b)的長度為b－a)6.(2010·江蘇)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(1，＋∞)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h(x)，其中h(x)對(duì)任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)>0，使得f′(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a)．設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋(x>1)，其中b為實(shí)數(shù)．(1)求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b);(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．(2011·南通)(本小題滿分16分)已知各項(xiàng)均不

7、為零的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝c,2Sn＝anan＋1＋r.(1)若r＝－6，數(shù)列{an}能否成為等差數(shù)列？若能，求c滿足的條件；若不能，請(qǐng)說明理由．(2)設(shè)Pn＝＋＋…＋，Qn＝＋＋…＋，若r＞c＞4，求證：對(duì)于一切n∈N*，不等式－n

8、∴an＋1－an－1＝2.(3分)則a1，a3，a5，…，a2n－1，…成公差為2的等差數(shù)列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．a(chǎn)2，a4，a6，…，a2n，…成公差為2的等差數(shù)列，a2n＝a2＋2(n－1)．要使{an}為等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)a2－a1＝1.即2－－c＝1，r＝c－c2.(4分)∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，得c＝－2或3.∵當(dāng)c＝－2時(shí)，a3＝0不合題意，舍去．∴當(dāng)且僅當(dāng)c＝3時(shí)，