極限值確定函數(shù)式中參數(shù)的求解方法

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1、第26卷第4期高師理科學(xué)刊Vol.26No.42006年11月JournalofScienceofTeachersCollegeandUniversityNov2006文章編號(hào)1007-9831200604-0065-04一類極限值確定函數(shù)式中的參數(shù)的求解方法倪仁興紹興文理學(xué)院數(shù)學(xué)系浙江紹興312000摘要對(duì)于一類具有確定極限值的函數(shù)式中的參數(shù)求解給出了4種方法分離法有理化法泰勒公式法和漸近線法并舉例說(shuō)明其中的漸近線法是求解此類問(wèn)題的一種較好方法它具有簡(jiǎn)單方便等特點(diǎn)關(guān)鍵詞極限分離法有理化法泰勒公式法漸近線法中圖分類號(hào)O172文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A極限是微積分的理論基礎(chǔ)研究函數(shù)的性質(zhì)實(shí)質(zhì)上是通過(guò)研

2、究各種類型的極限來(lái)達(dá)到的如連續(xù)導(dǎo)數(shù)定積分級(jí)數(shù)等等由此可見(jiàn)如何求函數(shù)的極限是重要的問(wèn)題而求確定函數(shù)的極限值有眾多的方法其中根據(jù)函數(shù)極限的定義來(lái)求極限值是最基本的方法反之若已知含有參數(shù)的函數(shù)式的極限值如何來(lái)確定函數(shù)式中的參數(shù)本文討論就此進(jìn)行討論關(guān)于一類具確定極限值的極限式lim[]f()x-ax-b=0中參數(shù)ab的求解方法問(wèn)題其中f(x)為一已x?￥知函數(shù)給出這類問(wèn)題的4種解法即分離法有理化法泰勒公式法和漸近線法并舉例說(shuō)明漸近線法是求解此類問(wèn)題的一種較好方法它具有簡(jiǎn)單方便等特點(diǎn)1分離法分離法是一般教材和教參用書(shū)中最常用的解法它較多地用于f(x)為有理函數(shù)的情形其做法是對(duì)有理函數(shù)f(x)進(jìn)行

3、變量分離把它分離成一個(gè)整式和一個(gè)真分式之和然后再根據(jù)函數(shù)極限存在的條件來(lái)定出函數(shù)式中所含的參數(shù)x2+1[1-3]例1設(shè)lim(-ax-b)=0求常數(shù)a與bx?￥x+1x2+12x2+12解由-ax-b=+(1-a)x-(b-1)得lim(-ax-b)=lim[+(1-a)x-(b+1)]=0而此式成立的充x+1x+1x?￥x+1x?￥x+1x2+1要條件為1-a=0且b+1=0故當(dāng)且僅當(dāng)a=1且b=-1時(shí)lim(-ax-b)=0x?￥x+1由例1的解題過(guò)程可以看出把函數(shù)式進(jìn)行分離的目的是便于利用極限的定義但分離的過(guò)程有時(shí)是x10-x9+5x7+4x6+7很復(fù)雜的若有理函數(shù)f(x)的分子

4、和分母的自變量的次數(shù)較高如lim(-ax-b)=0x?￥x9+8求常數(shù)a與b這時(shí)用分離法就顯得較復(fù)雜2有理化法有理化法較多地用于f(x)為無(wú)理函數(shù)的情形對(duì)無(wú)理函數(shù)f(x)把f(x)-ax-b分子有理化再進(jìn)行收稿日期2006-05-31基金項(xiàng)目國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目10271025浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目102002作者簡(jiǎn)介倪仁興1964-男浙江紹興人教授碩士主要從事非線性分析和非線性逼近的研究66高師理科學(xué)刊第26卷適當(dāng)?shù)鼗?jiǎn)然后根據(jù)函數(shù)極限存在的條件確定函數(shù)式中待求的參數(shù)[2-3]2例2設(shè)lim(x-x+1-ax-b)=0求常數(shù)a與bx?-￥x2-x+1-(ax+b)2(1-a2

5、)x2-(1+2ab)x+(1-b2)解當(dāng)x<0時(shí)x2-x+1-ax-b==x2-x+1+(ax+b)x2-x+1+ax+b(1-a2)x-(1+2ab)+(1-b2)x-1=11-1-++a+bx-1xx2可得使lim(x2-x+1-ax-b)=0成立的充分必要條件為1-a2=0且1+2ab=0即a=±1且x?-￥111b=_而當(dāng)a=1且b=-時(shí)原函數(shù)極限不存在故當(dāng)且僅當(dāng)a=-1且b=時(shí)有l(wèi)im(x2-x+1-222x?-￥ax-b)=0[2-3]2例3設(shè)lim(x-x+1-ax-b)=0求常數(shù)a與bx?+￥1解類似于例2的處理可得當(dāng)且僅當(dāng)a=1且b=-時(shí)有l(wèi)im(x2-x+1-ax

6、-b)=02x?+￥332由例2和例3的解題過(guò)程可以看出對(duì)某些無(wú)理函數(shù)式的極限如lim(x-9x+1-ax-b)=0此時(shí)x?￥要確定常數(shù)a與b用分子有理化法就顯得較為復(fù)雜3泰勒公式法若函數(shù)f(x)可用泰勒公式表示這時(shí)求解這類具確定極限值函數(shù)式中的參數(shù)也可用泰勒公式法求解一般地在對(duì)f(x)用泰勒公式表示之前常需對(duì)f(x)作恒等變形以利于泰勒公式的表示(x-1)2[4]例4設(shè)lim[-ax-b]=0求常數(shù)a與bx?￥3(x+1)12x-2+(x-1)1x解因lim[-ax-b]=lim[-3(ax+b)]x?￥3(x+1)3x?￥11+x1ì111ü=limí(x-2+)[1-+o()]-

7、3(ax+b)y3x?￥?xxxt11=lim[(1-3a)x-(3+3b)+o()]=03x?￥x(x-1)2111有1-3a=0且3+3b=0即a=b=-1反過(guò)來(lái)當(dāng)a=b=-1時(shí)明顯有l(wèi)im[-x+1]33x?￥3(x+1)34(x-1)21=lim()=0故當(dāng)且僅當(dāng)a=且b=-1時(shí)lim[-ax-b]=0x?￥3x+33x?￥3(x+1)[4]32x3-x-x+-ax-b=例5設(shè)lim(1)0求常數(shù)a與bx?￥1332解類似于例4的處理可