投票選舉中的數(shù)學(xué)悖論

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1、投票選舉中的數(shù)學(xué)悖論引言生活實(shí)例——實(shí)在不想吃這個(gè)投票選舉悖論簡(jiǎn)單多數(shù)制(plurality)兩輪選舉制(runoff）波達(dá)計(jì)數(shù)法（Bordacount）選舉制評(píng)價(jià)——阿羅定理（Arrow’sTheorem）2008級(jí)物理學(xué)林文霞引言“少數(shù)服從多數(shù)”是我們經(jīng)常說(shuō)的一句話，小到一群人去哪里吃飯、學(xué)校班干部選舉，大到國(guó)家政策的決定、某些國(guó)家的議員選舉，通常都是遵照這條規(guī)則行事。然而，如果從數(shù)學(xué)的角度分析這種“多數(shù)決定”的規(guī)則，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，按照這種規(guī)則做出的決定也有可能不是“最佳”決定，甚至可能是“

2、最差”決定。實(shí)在不想吃這個(gè)舉個(gè)例子。辦公室7個(gè)人，打電話到外面定快餐，只能共同選擇一種食品。可選擇的食品有3種：蛋炒飯、蓋澆飯和面條。7個(gè)人想吃的食品排名順序各不相同。比如說(shuō)，A先生想吃的是“蛋炒飯>蓋澆飯>面條”。F先生想吃的相反，是“面條>蓋澆飯>蛋炒飯”。1表示最想吃的，2其次，3最不喜歡A先生負(fù)責(zé)匯總意見(jiàn)，根據(jù)多數(shù)人最想食品訂餐。收集到的意見(jiàn)是，最想吃蛋炒飯3人，最想吃蓋澆飯或者面條的各有2人。于是按照“多數(shù)決定”訂了蛋炒飯。但是A先生深入聽(tīng)取了他們的意見(jiàn)后發(fā)現(xiàn)：原來(lái)，最想吃蓋澆飯或面條

3、的那4個(gè)人最不喜歡吃的就是蓋澆飯！現(xiàn)在換一種思路：假定可選擇的食品只有兩種，每個(gè)人只能二選一。在只有“蛋炒飯和蓋澆飯”可供選擇時(shí)，分析7個(gè)人的意見(jiàn)，結(jié)果是3對(duì)4，蓋澆飯獲勝；在只有“蓋澆飯和面條”可供選擇時(shí)，蓋澆飯獲勝；在只有“面條和蛋炒飯”可供選擇時(shí)，面條獲勝。這樣分析起來(lái)，想吃蓋澆飯的人最多，最后要定的應(yīng)是蓋澆飯。另外，還會(huì)出現(xiàn)相對(duì)立的結(jié)論——如果問(wèn)七個(gè)人最不想吃的午餐是什么，結(jié)果恰好是蛋炒飯（占4票）。因此，投票中即使每個(gè)人都做出了他認(rèn)為是最合理的選擇，投票結(jié)果也有可能是不合理的，這種現(xiàn)象

4、被稱為是“投票悖謬”。早在18世紀(jì)，法國(guó)的數(shù)學(xué)家和政治家孔多賽（1747-1794）就揭示了投票所具有的這種奇怪的性質(zhì)。并且將一對(duì)一比較得到的由多數(shù)人選擇的那個(gè)選項(xiàng)（蓋澆飯）叫做“孔多賽勝者”。另外，還會(huì)出現(xiàn)這樣的一種“投票悖謬”：假定有三個(gè)人ABC，他們對(duì)三種食物的喜歡順序分別是A:蛋炒飯>蓋澆飯>面條B:蓋澆飯>面條>蛋炒飯C:面條>蛋炒飯>蓋澆飯這種情況下投票特別分散，無(wú)法決出最后勝負(fù)（孔多賽勝者）。在這種情況下，每個(gè)投票者都做出自己的合理判斷，但結(jié)果卻是不合理的（無(wú)法做出決定）。不同選舉

5、制不同結(jié)果假定有一個(gè)百人社會(huì)，分成左中右三派，各派出一個(gè)候選人。三派選民的分布如下：　　左派：４０，同時(shí)親中反右　　中派：２５，同時(shí)親右反左　　右派：３５，同時(shí)親中反左簡(jiǎn)單多數(shù)制（plurality）如果采用簡(jiǎn)單多數(shù)制，則左派勝。于是中派右派大呼上當(dāng)，我們可是有６０％的選民最討厭左派！民主制度下怎么能讓多數(shù)人都最反對(duì)的人當(dāng)選呢？左派：４０，同時(shí)親中反右中派：２５，同時(shí)親右反左右派：３５，同時(shí)親中反左兩輪選舉制（runoff）兩輪選舉制是指在選舉出唯一的候選人時(shí)，如果某選舉中沒(méi)有任何一個(gè)人獲

6、得絕大多數(shù)的選票，那么選票最多的兩個(gè)候選人進(jìn)入下一輪選舉，被選舉人不得投票。由于中間派只有２５％，第一輪被淘汰。但是由于中派親右，于是右派在第二輪以６０：４０擊敗左派當(dāng)選。左派：４０，同時(shí)親中反右中派：２５，同時(shí)親右反左右派：３５，同時(shí)親中反左兩輪選舉制（runoff）這個(gè)結(jié)果夠不夠民主呢？這種選舉制好不好呢？右派怎么說(shuō)也只代表了３５％的選民。而且，左派實(shí)際上可以操縱選舉結(jié)果。對(duì)于左派來(lái)說(shuō)，右派當(dāng)選是下下之策。由于勝算渺茫，其最佳策略是在第一輪忍痛割愛(ài)，把票投給中派，造成中派當(dāng)選的最終結(jié)局。而在

7、第二輪中與中派競(jìng)爭(zhēng)。這種鼓勵(lì)做票的選舉制度顯然太黑暗了。波達(dá)計(jì)數(shù)法（Bordacount）波達(dá)計(jì)數(shù)法是按照喜好排列候選者，進(jìn)行打分。左派（４０人）：給老左３分，老中２分，老右１分中派（２５人）：給老左１分，老中３分，老右２分右派（３５人）：給老左１分，老中２分，老右３分總計(jì)：老左：４０x３＋２５x１＋３５x１＝１８０分老中：４０x２＋２５x３＋３５x２＝２２５分老右：４０x１＋２５x２＋３５x３＝１９５分于是老中當(dāng)選?？墒?，老中是三派中的最少數(shù)派。在民主制度下怎么能讓最少數(shù)派的代理人當(dāng)

8、選呢？選舉制評(píng)價(jià)——阿羅定理不存在完美的選舉制！阿羅定理Arrow’stheorem,又叫做不可能定理，是由肯尼思·阿羅（KennethJ·Arrow）【1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者】提出的一種社會(huì)選擇理論。阿羅定理的含義是：滿足所有合理?xiàng)l件的社會(huì)選擇機(jī)制是不存在的。阿羅的最終結(jié)論是：只要搞民主選舉，不論用什么選舉法，在數(shù)學(xué)上都無(wú)法避免選民（即多數(shù)人）不滿意的候選人當(dāng)選?；蛘撸瑥臄?shù)學(xué)上避免困境的“選舉”方式只有一個(gè)：獨(dú)裁，即非民主選舉。因此，不存在完美的選舉制。阿羅定理個(gè)體的偏好排序滿足下列要