數(shù)學(xué)錯解的主要類型及例析

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1、《數(shù)學(xué)錯解的主要類型及例析》孫建克數(shù)學(xué)錯解的主要類型及例析北白象鎮(zhèn)中學(xué)孫建克【內(nèi)容提要】解數(shù)學(xué)題時，如果概念、定義理解不清；定理、公式、法則不注意它的適用范圍；方法、技巧不考慮它的使用條件，那么在解題中就必定要出現(xiàn)判斷錯誤，就會產(chǎn)生數(shù)學(xué)錯解。本文通過闡明產(chǎn)生數(shù)學(xué)錯解的原因及相關(guān)的典型例題分析，得出數(shù)學(xué)錯解的主要七大類型。旨在幫助同學(xué)們總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，防止今后再發(fā)生類似錯誤?！娟P(guān)鍵詞語】數(shù)學(xué)解題數(shù)學(xué)錯解錯解原因錯解類型錯解例題學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須解題。當(dāng)今著名的數(shù)學(xué)家、教育家G波利亞指出：掌握數(shù)學(xué)就是意味著解題。解答數(shù)學(xué)問題離不開概念、定義、定

2、理、公式、法則以及方法、技巧等等，如果概念、定義理解不清；定理、公式、法則不注意它的適用范圍；方法、技巧不考慮它的使用條件，那么在解題中就必定要出現(xiàn)判斷錯誤。這實際上就是違背了數(shù)學(xué)學(xué)科的“科學(xué)性、嚴(yán)密性和完整性”。因此從廣義上理解凡是違背此“三性”的解題過程及結(jié)果統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)題的錯解，簡稱數(shù)學(xué)錯解（本文簡稱“錯解”）。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，出現(xiàn)一些解題失誤是不可避免的。常言說：“失敗乃成功之母”，“錯誤往往是正確的先導(dǎo)”，對同學(xué)們來說，重要的是如何正確對待自己的失誤。一道題做錯了，首先要認(rèn)真分析錯在哪里，其次要反省自己為什么會出現(xiàn)這種錯誤

3、，從中找出原因，吸取教訓(xùn)，防止今后再發(fā)生類似錯誤。下面結(jié)合本人的教學(xué)實踐和經(jīng)驗從七方面論述錯解原因、錯解例題和錯解類型，以供同學(xué)們參考。一、模糊數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生錯解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中指出：“正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握基礎(chǔ)知識的前提”這表明了數(shù)學(xué)概念在學(xué)習(xí)中的重要性。然而，不少同學(xué)對此認(rèn)識不足，認(rèn)為基本概念單調(diào)乏味沒什么好學(xué)的，因此學(xué)習(xí)時不求甚解輕易放過。這樣勢必造成對某些概念只知其表不知其里；只重形式，不重實質(zhì)；摸棱兩可，似是而非。正是如此而在解題中常常暴露出這樣那樣的差錯。下面的例子可以說明問題。例1為何值時，分式的值是正整數(shù)。錯解要使分

4、式的值是正整數(shù)，只要它的分母的值為、、即可。當(dāng)時，求得，；當(dāng)時，求得；當(dāng)時，求得，。所以，只當(dāng)分別取，，，，，等實數(shù)時，分式的值是正整數(shù)。分析取代入原分式中，得出該分式的值為就是正整數(shù)。這說明原解答不完整，還有遺漏。其失誤原因在于混淆“整數(shù)整除”與“兩個實數(shù)相除得整數(shù)”這兩個概念。原題并沒有要求分母是整數(shù)，因此，只要令（第6頁（共6頁）《數(shù)學(xué)錯解的主要類型及例析》孫建克是自然數(shù)）再求出的值就完整了。正解令（是任意自然數(shù)）則解得，（）所以，當(dāng)（）時，原分式的值是正整數(shù)。二、混淆充要條件產(chǎn)生錯解一道數(shù)學(xué)題一般地可分為題設(shè)和結(jié)論兩部分，解

5、題常從兩方面考慮：一是從已知條件出發(fā)，結(jié)合學(xué)過的定義、定理、公式、法則等基礎(chǔ)知識，通過演算和推理得到結(jié)論；另一方面也可以從結(jié)論出發(fā)逆推至題設(shè)條件。不論從已知出發(fā)還是從結(jié)論出發(fā)，在進(jìn)行推理、演算過程中，必須時刻留心每一步的依據(jù)是什么，理由是否充分或必要，尤其逆推時要注意步步可逆，即注意條件的充要性。倘若在推理過程中忽視或混淆了條件所允許的范圍，這就可能造成失誤。比如下面的例題就可以說明此問題。例2已知，，求的值。錯解由已知可得是方程的兩個根。所以，由韋達(dá)定理知：，于是，分析方程的判別式的值是，故它有兩相異實根。若，是該方程的兩個根，則

6、除了有，成立外，還有這個隱含條件。因為已知條件中沒有告訴我們，所以“，”僅僅是“，是方程的兩個根”的必要條件而不是充分條件。上述解答中將必要條件當(dāng)做充分條件使用，結(jié)果無形中縮小了已知條件中，所能允許的取值范圍，從而導(dǎo)致其結(jié)論不完整。正解（1）當(dāng)時，結(jié)合已知條件可知，是方程的兩個根。所以，由韋達(dá)定理知：，。于是，（2）當(dāng)時，。（3）當(dāng)時，第6頁（共6頁）《數(shù)學(xué)錯解的主要類型及例析》孫建克三、忽視隱含條件產(chǎn)生錯解有些數(shù)學(xué)題目除了給出的明顯條件外，常常在題設(shè)或題斷的字里行間或式子中隱藏著某些事實，我們稱這樣的暗藏事實為隱含條件。隱含條件在

7、解題中容易被忽視，其后果輕則得出結(jié)論有漏洞，重則面目全非。數(shù)學(xué)題目中的隱含條件的反映形式是多種多樣的，通?？梢詮母拍疃x中的某些特殊規(guī)定、公式定理法則和性質(zhì)中的某些特定限制、題目的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)字圖形特征等四個方面來挖掘。例3就是忽視概念定義中的隱含條件而產(chǎn)生錯解的。例3將中根號外的因式移至根號內(nèi)。錯解。分析上述錯解誤把當(dāng)做非負(fù)因式移到根號內(nèi)。實際上本題中包含著兩個隱含條件：“二次根號下的被開方式為非負(fù)數(shù)”和“分式的分母不為零”，故有得，應(yīng)先將變?yōu)椋賹⒄蚴揭频礁杻?nèi)。正解，。因此，。四、遺漏添加條件產(chǎn)生錯解有些同學(xué)在解題時不考慮題

8、給條件是否都用上了或者不考慮所用條件是否都是題目中給定的（含隱含條件），表現(xiàn)在解題時常常遺漏某個條件限制或隨意地憑主觀想象外加一些條件，其后果必然是出現(xiàn)偏差甚至答案完全錯誤。請看例4和例5。例4非負(fù)數(shù)，，適合關(guān)系式，求的最小值。錯解令