對(duì)角占優(yōu)矩陣奇異-非奇異的充分必要判據(jù)

《對(duì)角占優(yōu)矩陣奇異-非奇異的充分必要判據(jù)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、金繼東：對(duì)角占優(yōu)矩陣奇異一非奇異的充分必要判據(jù)2Taussky定理及其推論文中若無特別說明，一律假定所討論的矩陣A=【n】∈c，其中c是復(fù)數(shù)域，I．1為復(fù)數(shù)的模定義2．1(1)矩陣A=[aij]∈c，如果滿足(2．1)則稱是行對(duì)角占優(yōu)矩陣．i行取嚴(yán)格不等號(hào)，則i行為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)行；i行取等號(hào)，則i行為非嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)行．如果A的所有行都是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)行，則稱為行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣；如果的所有行都是非嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)行，則稱為行弱對(duì)角占優(yōu)矩陣．(2)矩陣A：[aij】∈c，如果滿足≥∑0一∑=0一叼則稱A是行平衡矩陣；

2、實(shí)數(shù)域上的行平衡矩陣A=[a{】∈n×”稱為仿射矩陣．=對(duì)列可以作類似的l_定義．如果矩陣A：∈cn×n不僅關(guān)于行是對(duì)角占優(yōu)的而且關(guān)于列也是對(duì)角占優(yōu)的，則稱為行他列雙對(duì)角占優(yōu)矩陣；如果矩陣=[oij]∈cn×n不僅關(guān)于行是平衡的而且關(guān)于列也是平衡的，則稱n為行列雙平衡矩陣．定義2．2矩陣A=[ai]∈Cn×n給定，簡(jiǎn)單有向圖F(A)：(，A)稱為矩陣的伴隨有向圖，其中V={仇li=1，?，n)是F(A)結(jié)點(diǎn)的集合，={v，vj)∈V×Vlaij≠0)是F(A)邊的集合．定義2．3矩陣的伴隨有向圖r(A)=(，

3、M)是強(qiáng)連通的，則A是不可約的；否則就是可約的．關(guān)于不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣有以下著名的Taussky定理[15】】．定理2．1(Taussky)A=[aj]∈×n是不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣．如果存在嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)行，則是非奇異的．22．1可約對(duì)角占優(yōu)矩陣的Frobenius標(biāo)準(zhǔn)型2是方陣，則存在置換矩陣P，使得A1100pTAP：(2．3)As+1．1As+．1分塊矩陣(2．3)稱為的Frobenius標(biāo)準(zhǔn)型[22-24]，其中對(duì)角塊App(P=l?．，s+k)為不可約方陣(I、(pp)是r()的強(qiáng)分量一極大強(qiáng)連通子圖)

4、，稱為A的Frobenius塊．的Frobenius標(biāo)準(zhǔn)型(2．3)1166中國(guó)科學(xué)：數(shù)學(xué)第44卷第11期有以下特點(diǎn)：JApq0，Vq≠P，P≤s，r。d、IApq≠0，qs．因此，稱11，?，。為A的獨(dú)立Frobenius塊，s+1，臥1，．．．，As+k,s+k為的非獨(dú)立Frobenius塊．文獻(xiàn)f19—211給出了以下結(jié)果．推論2．1對(duì)角占優(yōu)矩陣的非獨(dú)立Frobenius塊是非奇異的．4是奇異的當(dāng)且僅當(dāng)?shù)莫?dú)立Frobenius塊中至少有一個(gè)是奇異的．證明假設(shè)(2．3)是矩陣的Frobenius

5、標(biāo)準(zhǔn)型，是的非獨(dú)立Frobenius塊．是對(duì)角占優(yōu)的，因此，pp是對(duì)角占優(yōu)的．App是A的非獨(dú)立Frobenius塊，根據(jù)(2．4)，存在q

6、推論2．1將一般(可約)對(duì)角占優(yōu)矩陣的奇異一非奇異性化為其所有獨(dú)立Frobenius塊的奇異一非奇異性．由于Frobenius塊不可約，因此也就將這種問題化為不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣的奇異一非奇異性．2．2不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣由定義立得Taussky定理的以下推論．推論2．2不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣A是奇異的，則是弱對(duì)角占優(yōu)的．推論2．3不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣A=【af]∈Cn×n是奇異的，則RankA=n一1．證明修改a為。捫t使J>JaiiJ．修改后的矩陣的i行是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)行．根據(jù)Taussky定理，是非奇異的．據(jù)此可得

7、A除i行以外的各行是線性無關(guān)的．因此，RankA≥n一1．A是奇異的，則有RankA=n一1．口這意味著奇異不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣A∈Cn×n的任意一行均為其他n一1行的線性組合且線性組合系數(shù)均不為零．進(jìn)而有以下推論．推論2．4不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣A∈C是奇異的，P=(P1?．，)，，y=(1?．，)T分別是A零特征根的左右特征向量，P和，y均不存在零元素．定義2．4P=(P1，?，P)和=(1?．，)T分別是矩陣A∈C“零特征根的左右特征向量．對(duì)角矩陣P=diag(p1?．，)和T=di~g(71，?，)分別稱為

8、零特征根的左右特征矩陣．根據(jù)推論2．4，有以下結(jié)果．推論2．5奇異不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣A零特征根的左右特征矩陣P和T是非奇異的．3奇異不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣的相似性分析3．1平衡對(duì)角占優(yōu)矩陣矩陣A=(aij]∈C的元素可以表示為aij=Iaijlei0~，，其中(aijI為n的模，e詔是aij的單位復(fù)數(shù)，為0的輻角．命題3．1矩陣A=[aij]∈是行對(duì)角占優(yōu)的并且是行平衡的，則金繼東：對(duì)角占優(yōu)矩陣奇異．非