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《2013華約自主招生數(shù)學(xué)試題及答案詳解》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、2013“華約”自主招生試題2013-03-16(時間90分鐘,滿分100分)1.(10分)集合,為的子集,若集合中元素滿足以下條件:①任意數(shù)字都不相等;②任意兩個數(shù)之和不為9(1)中兩位數(shù)有多少？三位數(shù)有多少？(2)中是否有五位數(shù)？六位數(shù)？(3)若將集合的元素按從小到大的順序排列,第個數(shù)為多少？【解】將0,1,2,…,9這10個數(shù)字按照和為9進(jìn)行配對,考慮(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),中元素的每個數(shù)位只能從上面五對數(shù)中每對至多取一個數(shù)構(gòu)成.(1)兩位數(shù)有個;三位數(shù)有個;(2)存在五位數(shù),只需從上述五個數(shù)
2、對中每對取一個數(shù)即可構(gòu)成符合條件的五位數(shù);不存在六位數(shù),由抽屜原理易知,若存在,則至少要從一個數(shù)對中取出兩個數(shù),則該兩個數(shù)字之和為9,與中任意一個元素的任意兩個數(shù)位的數(shù)字之和不等于矛盾,因此不存在六位數(shù);(3)四位數(shù)共有個,因此第1081個元素是四位數(shù),且是第577個四位數(shù),我們考慮千位,千位為1,2,3的四位數(shù)有個,因此第1081個元素是4012.2.(15分),,求與的值【解】由……①,……②,平方相加得;另一方面由①可得……③由②式可得……④,由③/④式得,也所以即求.3.點在上,點在上,其中,,且在軸同側(cè).(1)求中點的軌跡;
3、(2)曲線與相切,求證:切點分別在兩條定直線上,并求切線方程.【解】(1)設(shè),,則,由得,,顯然,于是得,于是中點的軌跡是焦點為,實軸長為2的雙曲線.(2)將與聯(lián)立得,由曲線與拋物線相切,故,即,所以方程可化為,即切點的縱從標(biāo)均為,代入曲線得橫坐標(biāo)為即求.因此切點分別在定直線上,兩切點為,又因為,于是在處的切線方程為,即;同理在處的切線方程為.4.(15分)7個紅球,8個黑球,從中任取4個球.(1)求取出的球中恰有1個是紅球的概率;(2)求所取出球中黑球個數(shù)的分布列及期望;(3)若所取出的4個球顏色相同,求恰好全黑的概率;【解】(1)
4、由題知恰有一個紅球的概率為;(2)易知的所有可能取值為0,1,2,3,4,則由古典概型知,,,,,01234,即的分布列為:所以其數(shù)學(xué)期望為(事實上由超幾何分布期望公式可以直接得出期望為,無須繁雜計算)(3)取出四個球同色,全為黑色的概率為即求.5.(15分)數(shù)列均為正數(shù),且對任意滿足為常數(shù)).(1)求證:對任意正數(shù),存在,當(dāng)時有;(2)設(shè),是數(shù)列的前項和,求證:對任意,存在,當(dāng)時,.【證明】:(1)因為對任意的滿足,所以,又因為,所以,所以故對任意的正整數(shù),存在,當(dāng)時有;(注:表示不超過的最大正整數(shù).)(2)由可得,,所以;也所以,
5、即且由(1)知,所以,即對任意,存在,當(dāng)時,有.6.(15分)已知是互不相等的正整數(shù),,求.【解】本題等價于求使為整數(shù)的正整數(shù),由于是互不相等的正整數(shù),因此,不失一般性不妨設(shè),則,于是,結(jié)合為正整數(shù),故,當(dāng)時,,即,于是,所以,但另一方面,且為正整數(shù),所以矛盾,不合題意.所以,此時,于是,即,也所以,所以,又因為,所以;于是,所以,即,又因為,所以,經(jīng)檢驗符合題意,于是符合題意的正整數(shù)有=(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)注:該題與2011年福建省高一數(shù)學(xué)競賽試題雷同.7.(
6、15分)已知求證:(1)當(dāng),;(2)數(shù)列滿足,求證:數(shù)列單調(diào)遞減且.【解】(1)當(dāng)時,,所以在上遞減,所以.(2)由得,結(jié)合,及對任意,利用數(shù)學(xué)歸納法易得對任意正整數(shù)成立,由(1)知,即,即,因為,所以,即,所以數(shù)列遞減,下面證明,用數(shù)學(xué)歸納法證,設(shè),則,由(1)知當(dāng)時,,即,故在遞增,由歸納假設(shè)得,要證明只需證明,即,故只需證明,考慮函數(shù),因為當(dāng)時,所以,故在上遞增,又,所以,即,由歸納法知,對任意正整數(shù)成立.注:此題的函數(shù)模型與2012年清華大學(xué)保送生考試試題的函數(shù)模型相似.
