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1、慣性矩的計算方法及常用截面慣性矩計算公式截面圖形的幾何性質一.重點及難點：(一).截面靜矩和形心1.靜矩的定義式如圖1所示任意有限平面圖形，取其單元如面積dA，定義它對任意軸的一次矩為它對該軸的靜矩，即ydSyxdAxdAdSxydA整個圖形對y、z軸的靜矩分別為x×CySyxdAA（I-1）0AyxSxydAA2.形心與靜矩關系圖I-1設平面圖形形心C的坐標為yC,zC則0SxSyy，x（I-2）AA推論1如果y軸通過形心（即x0），則靜矩Sy0；同理，如果x軸通過形心（即y0），則靜矩Sx0；反之也成立。推論2如果x、y軸均為圖形的對稱軸，則其交點即為圖形形心；如果y軸為圖形對稱軸
2、，則圖形形心必在此軸上。3.組合圖形的靜矩和形心設截面圖形由幾個面積分別為A1,A2,A3An的簡單圖形組成，且一直各族圖形的形心坐標分別為x1,y1；x2,y2；x3,y3，則圖形對y軸和x軸的靜矩分別為1/14nnSySyiAixii1i1（I-3）nnSxSxiAiyii1i1截面圖形的形心坐標為nnAixiAiyii1i1x，y（I-4）nnAiAii1i14.靜矩的特征(1)界面圖形的靜矩是對某一坐標軸所定義的，故靜矩與坐標軸有關。3(2)靜矩有的單位為m。(3)靜矩的數(shù)值可正可負，也可為零。圖形對任意形心軸的靜矩必定為零，反之，若圖形對某一軸的靜矩為零，則該軸必通過圖形的形
3、心。(4)若已知圖形的形心坐標。則可由式（I-1）求圖形對坐標軸的靜矩。若已知圖形對坐標軸的靜矩，則可由式（I-2）求圖形的形心坐標。組合圖形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出圖形對某一坐標系的靜矩，然后由式（I-4）求出其形心坐標。（二）.慣性矩慣性積慣性半徑1.慣性矩定義設任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3），則圖形對O點的極慣性矩定義為2IpdA（I-5）A圖形對y軸和x軸的光性矩分別定義為22IyxdA，IxydA（I-6）AA慣性矩的特征（1）界面圖形的極慣性矩是對某一極點定義的；軸慣性矩是對某一坐標軸定義的。4（2）極慣性矩和軸慣性矩的單位為m。2/14（3）極慣性
4、矩和軸慣性矩的數(shù)值均為恒為大于零的正值。（4）圖形對某一點的極慣性矩的數(shù)值，恒等于圖形對以該點為坐標原點的任意一對坐標軸的軸慣性矩之和，即222IpdA(xy)dAIyIx（I-7）AA（5）組合圖形（圖I-2）對某一點的極慣性矩或某一軸的軸慣性矩，分別等于各族紛紛圖形對同一點的極慣性矩或同一軸慣性矩之和，即nnnIIi，IyIyi，IxIxi（I-8）i1i1i1yx1C1A1yx2C2xdAA2yxnCnAny10x0yny2x圖I-2圖I-32.慣性積定義設任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3），則圖形對y軸和x軸的慣性積定義為IxyxydA（I-9）A慣性積的特征（1）界面圖
5、形的慣性積是對相互垂直的某一對坐標軸定義的。4（2）慣性積的單位為m。（3）慣性積的數(shù)值可正可負，也可能等于零。若一對坐標周中有一軸為圖形的對稱軸，則圖形對這一對稱軸的慣性積必等于零。但圖形對某一對坐標軸的慣性積為零，這一對坐標軸重且不一定有圖形的對稱軸。3/14（4）組合圖形對某一對坐標軸的慣性積，等于各組分圖形對同一坐標軸的慣性積之和，即nIxyIxyi（I-10）i13.慣性半徑定義：任意形狀的截面圖形的面積為A（圖I-3）,則圖形對y軸和x軸的慣性半徑分別定義為IyIxiy，ix（I-11）AA慣性半徑的特征（1）慣性半徑是對某一坐標軸定義的。（2）慣性半徑的單位為m。（3）慣
6、性半徑的數(shù)值恒取證之。（三）.慣性矩和慣性積的平行移軸公式平行移軸公式2IxIxCaA（I-12）2IyIyCbAIxyIxCyCabA（I-13）平行移軸公式的特征（1）意形狀界面光圖形的面積為A（圖（I-4）；xC，yC軸為圖形的形心軸；x，y軸為分別與xC，yC形心軸相距為a和b的平行軸。（2）兩對平行軸之間的距離a和b的正負，可任意選取坐標軸x，y或形心xC，yC為參考軸加以確定。（3）在所有相互平行的坐標軸中，圖形對形心軸的慣性矩為最小，但圖形對形心軸的慣性積不一定是最小。4/14yyCdAbCxCa0x圖I-4(四)、慣性矩和慣性積的轉軸公式.主慣性軸主慣性矩轉軸公式IxI
7、yIxIyIx1cos2Ixysin222IxIyIxIyIycos2Ixysin2122IxIyIxysin2Ixycos2112轉軸公式的特征(1)角度的正負號，從原坐標軸x,y轉至新坐標軸x1,y1，以逆時針轉向者為正（圖5）。(2)原點O為截面圖形平面內的任意點，轉軸公式與圖形的形心無關。(3)圖形對通過同一坐標原點任意一對相互垂直坐標軸的兩個軸慣性矩之和為常量，等于圖形對原點的極慣性矩，即IxIyIx1Iy1IP5/14主慣性軸、主慣
