相交線平行線經(jīng)典題例與思維點(diǎn)播

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1、相交線平行線經(jīng)典題例與思維點(diǎn)播【例1】已知，如圖，直線AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，你能求出∠AOC的度數(shù)嗎？????【思考與分析】觀察圖形我們可知，∠AOE與∠BOE是鄰補(bǔ)角，所以∠BOE的度數(shù)可求，又由OE是∠BOD的角平分線可求得∠BOD=2∠BOE，而∠AOC與∠BOD是對頂角，故∠AOC可求.解：∵AB是直線（已知），???∴∠AOE與∠BOE是鄰補(bǔ)角（鄰補(bǔ)角定義）.???∴∠AOE+∠BOE=180°（補(bǔ)角定義）.??又∠AOE=150°（已知），???∴∠BOE=180°-

2、∠AOE=180°－150°=30°（等式性質(zhì)）.???∵OE平分∠BOD（已知），???∴∠BOD=2∠BOE（角平分線定義）.???即∠BOD=2×30°＝60°.???∵∠AOC與∠BOD是對頂角（由圖可知），???∴∠AOC＝∠BOD（對頂角相等）.???∴∠AOC＝60°.　反思：在思考過程中抓住角平分線DE與各個角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.??【例2】如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于點(diǎn)O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，則下列結(jié)論中不正確的是（?????）.???A.∠2=45°??????

3、??????B.∠1=∠3???C.∠AOD與∠1互為補(bǔ)角????????D.∠1的余角等于75°30′??????思考與解:∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°.???∵OF平分∠AOE，?????∵∠1與∠3是對頂角，∴∠1=∠3.∴B正確.???∵∠AOD與∠1互為補(bǔ)角.∴C正確.???∵∠1=15°30′，∴∠1的余角=90°-15°30′=74°30′.∴D不正確.故選D.反思：我們在做這類選擇題時，首先把題中條件與圖形一一對應(yīng)，然后看每個結(jié)論是否與條件沖突.【例3】已知，如圖，直線AB、CD互相垂直，垂足為

4、O，直線EF過點(diǎn)O，∠DOF＝32°，你能求出∠AOE的度數(shù)嗎？??【思考與分析】我們由AB⊥CD可知∠AOC＝90°，因此，∠AOE與∠EOC互余.又因?yàn)椤螮OC與∠DOF是對頂角，于是∠EOC=32°，于是∠AOE可求.?解法一：∵直線CD與EF交于O（已知），??∴∠EOC=∠DOF（對頂角相等）.??∵∠DOF＝32°（已知），???∴?∠EOC=32°（等量代換）.??∵AB、CD互相垂直（已知），??∴?∠AOC＝90°（垂直定義）.??∴?∠AOE+∠EOC=90°.??∴?∠AOE=90°-∠EOC

5、=90°-32°=58°.　　?解法二：∵直線AB、CD互相垂直（已知），???∴?∠BOD＝90°（垂直定義）.???∴?∠BOF+∠DOF=90°.???∵?∠DOF＝32°（已知），???∴?∠BOF=90°-∠DOF=58°.???∵直線AB與直線EF交于點(diǎn)O（已知），???∴∠AOE=∠BOF（對頂角相等）.???∴∠AOE＝58°.????反思：第一種解法先用對頂角后用互余，第二種解法先用互余后用對頂角，我們在平時做題時也應(yīng)該多想多做，多角度分析解決問題.（一題多解，思維躍動）【例4】如圖3，直線AB與

6、CD相交于點(diǎn)F，EF⊥CD，則∠AFE與∠DFB之間的關(guān)系是_______.??????【思考與分析】我們由所給的條件EF⊥CD，得∠CFE=90°，也就是說∠AFE＋∠AFC=90°，又根據(jù)對頂角相等，得∠AFC＝∠DFB，所以∠AFE＋∠DFB=90°.本題也可利用平角的定義來解，即由∠AFE＋∠DFB＋∠EFD=180°，又因?yàn)椤螮FD=90°，所以∠AFE＋∠DFB=90°.???解：∠AFE與∠DFB互為余角（或∠AFE＋∠DFB=90°）.???反思：這類題目的特點(diǎn)是有條件而無結(jié)論，要從所給的條件出發(fā)，

7、通過分析、比較、猜想，尋找多種解法和結(jié)論，再進(jìn)行說理證明.這類題目具有較強(qiáng)的探索性，思維空間較大且靈活，突破了死記概念的傳統(tǒng)模式.【例5】平行直線AB和CD與相交直線EF、GH相交，圖中的同旁內(nèi)角共有（?????）對.???A.4對??B.8對???C.12對??D.16對???【思考與解】我們可將原圖分解為八個“三線八角”即“直線AB和CD被直線EF所截”、“直線AB和CD被直線GH所截”、“直線EF和GH被直線AB所截”、“直線EF和GH被直線CD所截”、“直線AB和EF被直線GH所截”、“直線EF和CD被直線

8、GH所截”、“直線AB和GH被直線EF所截”、“直線GH和CD被直線EF所截”.每一個“三線八角”都有兩對同旁內(nèi)角，故原圖中共有16對，因此選擇D.???反思：解這類問題，關(guān)鍵是如何用圖形分解法把圖形分成若干個“三線八角”.【例題】（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，則∠CBD的度數(shù)是??????????°.??????（