整數(shù)的表示方法極其應(yīng)用

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1、,中等數(shù)學(xué)!薛黨鵬（陜西省西安市西安中學(xué)，!"###$）!!!!!!（本講適合高中）#)%"·$%·2$·!+·""2·?·"%(%涉及整數(shù)的問(wèn)題，既形式簡(jiǎn)單又意義明其中!"$$，!%$%，!$$"，!+$"(確，雖所用知識(shí)不多但卻富于技巧性，因而在由于#的約數(shù)個(gè)數(shù)為數(shù)學(xué)競(jìng)賽中備受青睞(求解此類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)&（#）)（"*!）（"*!）?（"*!）"%%關(guān)鍵即為選用整數(shù)的適當(dāng)表示方法(本文以)"++，整數(shù)的表示方法為主線(xiàn)和工具，結(jié)合一些典而（"*!）（"*!）（"*!）（"*!）"%$+型例題的分析，介紹數(shù)學(xué)競(jìng)賽中整數(shù)問(wèn)題的$（"*$）（"*%）（"*"）（"*"）)+

2、’，求解策略(故最多還有一個(gè)!’"#（’$2），且!’%!質(zhì)數(shù)乘積表示法%(為使#最小，宜取#%!2%%(由（!"*"）（!%*"）（!$*"）（!+*"）（!2*"）算術(shù)基本定理指出，若正數(shù)整!""，則)"++（!2&#時(shí)）!可以惟一地寫(xiě)成!)"!"·"!%·?·"!#或（!"*"）（!%*"）（!$*"）（!+*"）（!2*"）"%#(!其中"為質(zhì)數(shù)，"?#"，!)"++（!2)#時(shí)）($"#"%#"$##$考慮"++)%+%的可能分解，并比較為正整數(shù)，$)"，%，$，?，#(1$相應(yīng)#的大小，可知最小的#是式!稱(chēng)為正整數(shù)!的質(zhì)數(shù)乘積表示2%式，也叫標(biāo)準(zhǔn)分解式(#

3、)%1$121!1"")""#’’#(例"當(dāng)(為任意整數(shù)時(shí)，求證：(0將一個(gè)正整數(shù)表示成質(zhì)數(shù)乘積形式后，3!2$可以被’,+#整除(可顯示出此數(shù)的構(gòu)成因數(shù)，也便于進(jìn)一步探,(*0(3+(分析：注意到’,+#)%,$討此數(shù)的其他性質(zhì)(例如，由式!易知，!的1$12，只需證所給多項(xiàng)式能分別被%,，$$及2整除，又因正因數(shù)個(gè)數(shù)為（!）（!）?（!）(這三個(gè)因數(shù)間有互質(zhì)關(guān)系，即可斷言結(jié)論成"*"%*"#*"立(由此就應(yīng)將已知多項(xiàng)式進(jìn)行各種分解(例!求出最小的正整數(shù)#，使其恰有0!2$(3,(*0(3+("++個(gè)不同的正因數(shù)，且其中有"#個(gè)連續(xù)整數(shù)()〔（(3%）（(3"）(（

4、(*"）〕·〔（(3"）(（(*"）（(*%）〕(，（第%,屆-./預(yù)選題）由于四個(gè)連續(xù)整數(shù)中有兩個(gè)偶數(shù)，且其中之分析：根據(jù)題目要求，#為"#個(gè)連續(xù)整一化為+的倍數(shù)，因而它們的積可被%$整數(shù)公倍數(shù)的倍數(shù)，因而必能被%，$，?，"#整除，所以上式能被%$$,整除；除(由于’)%$，0)$%，"#)%12，故其標(biāo)準(zhǔn)分1%)%又(0!2$解式中，至少含有%$1$%121!的因式(據(jù)3,(*0(3+(此可設(shè))〔（(3%）（(3"）(〕〔（(3"）(·（(*"）〕〔(（(*"）（(*%）〕，!本文收稿日期：%###&#!&"’由于三個(gè)連續(xù)整數(shù)之積可被$整除，所以上*//+年第!

5、期%式能被!!整除；式!即為正整數(shù)’的(—進(jìn)制表示法,又""%’!為方便，’也可記為’)（$?$）#$"&""#(")$)#++$/(,)〔（"#*）（"#+）"（"&+）（"&*）〕例#+"0%可以在*進(jìn)制中寫(xiě)成三位·〔（"#+）"·"（"&+）〕，數(shù)"+,,如果"&+&,)+&"&0&%，試確定由于五個(gè)連續(xù)整數(shù)之積可被’整除，所以上所有可能的"、+、,和*,式能被’整除,（+"0%，加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽）例!求證：將任給的+*個(gè)不同正整數(shù)分析：易知"**&+*&,)+"0%，"&+用適當(dāng)運(yùn)算符號(hào)（如&、#、-、.）連結(jié)起來(lái)，&,)*’，從而，所得結(jié)果一定是*/%"/的倍

6、數(shù),*"（*#+）&+（*#+）)+"$*，分析：先將*/%"/分解得即（*#+）［（*&+）"&+］)+"$**/%"/)*-!-’-%-"-++，)*-!*-+/",由$個(gè)整數(shù)連乘積組成,又可想到：在任給#由*!+/知*#+!"；&+個(gè)數(shù)中必可取*個(gè)數(shù)的差為#的倍數(shù),*由+"$*$*#+知*#%+"$!"(’,設(shè)+*個(gè)正整數(shù)為$（#)+，*，?，+*）,#故""*#+"((,易知，這+*個(gè)數(shù)中必有*個(gè)數(shù)（不妨設(shè)*由+"$*)*-!-+/"知它有+*個(gè)正為$，$，且$）之差為++的倍數(shù)，即+**!$+約數(shù)，分別為$*#$+)++%+，%+為整數(shù),在剩下的+/個(gè)數(shù)+，

7、*，!，$，"，+0，+/"，*+0，!*%，$’(，"0+，中必有*個(gè)數(shù)（不妨設(shè)為$，$且$）!(!"$(+"$*,之差是"的倍數(shù)，即$(#$!)"%*，%*為整所以，*#+)+0，*)+",數(shù),依此類(lèi)推可得：$#$)%%，$#$)由+"0%)’-+"*$’!0%&"-+"&++知’%(，$+/#$")!%’，%!，%(，%’均為整數(shù),")’，+)"，,)++,對(duì)剩下的*個(gè)數(shù)（即$++，$+*，設(shè)$++"例$將所有!的方冪及互不相等的!$+*），若至少有+個(gè)為偶數(shù)，則的方冪的和排成一個(gè)遞增數(shù)列$++$+*（$*#$+）（$(#$!）?（$+/#$"