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《圓截面抗彎問題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、圓截面抗彎問題的研究周莉（機電學(xué)院01016123）指導(dǎo)教師：隋允康摘要：本文研究了不規(guī)則截面的抗彎截面模量與面積的變化問題，試圖在削減截面積的同時最大限度地避免對抗彎截面模量的影響，從而達到在保證結(jié)構(gòu)剛度條件下節(jié)省材料的目的。結(jié)論是按照本文的削減方法，無法達到預(yù)期目的。但是此次研究的數(shù)據(jù)準確,可供其他研究者參考。關(guān)鍵詞：慣性矩；慣性積；抗彎截面模量1引言圓形截面的結(jié)構(gòu)經(jīng)常在工程實際中被用于承擔(dān)彎曲載荷，但其使用的材料較多，我們考慮在圓形截面上減去一部分面積，但使其對抗彎截面模量的影響不大。這樣我們就可以用特定方式在某一范圍內(nèi)大量減少面積，從而達到減少用材而不影響力學(xué)性能的目的
2、。設(shè)A為圓形截面面積，Wz為其抗彎截面模量，A*為削減后截面面積，Wz*為削減后??WzA抗彎截面模量，如果要求削減對抗彎截面模量的影響小于對面積的影響，則需>。WAz2理論論證2.1各圓內(nèi)接情況y首先來研究圖1情況，即用3個內(nèi)接小圓代替外接大圓的Iz情況。小圓的直徑為d。由于W=，而近似地認為y在zmaxymax削減前后沒有變化，因此用Iz代替Wz分析。z2根據(jù)平行移軸公式I=I+aA和幾何關(guān)系，我們很容易得zzc圖1各圓內(nèi)接444?11πdπD(97+563)πd到I=，而圓形截面慣性矩為I==，zz64649×64則有：98π2??3×dIz1116A43===51%==
3、=65%Iz(1+23)431AπD2(1+23)2343從而得到??IzA<，說明用此種方法不行。IAz2.2各圓相交情況現(xiàn)在考慮使組成圖形的3個圓相交的情況，相交部分的寬度為m，如圖2所示。記各圓連心線組成的等邊三角形邊長為l=d?m。此圖形直接求慣性矩較困難，可分成幾個部分分別計算（如圖3）。Y扇1Y扇1扇1βZ扇1αa1αm②③Zla2扇2扇3扇2扇3①Z三角1Y三角1圖2各圓相交圖3將圖形分解d?mπ現(xiàn)在令α=arccosβ=?α，則有：d31)扇1的慣性矩：42rπ+β2rI=ydA=r(rsinθ)drdθ=[π+2β?sin2β]z扇1∫∫∫∫0?β842rπ+
4、β2rI=zdA=r(rcosθ)drdθ=[π+2β+sin2β]y扇1∫∫∫∫0?β8并且由軸對稱性質(zhì)有I=0zy扇12)扇2、扇3的慣性矩：I+II?Ir41z扇1y扇1z扇1y扇1I=+cos2γ?Isin2γ=(π+2β+sin2β)z扇2zy扇12282a其中γ=±1203)三角形①的慣性矩：994ll3l3I=(tgα)=tgαz三角1362288441llI=tgα=tgαy三角148296并且由軸對稱性質(zhì)有I=0zy三角14)三角形②、③的慣性矩：I+II?Il4tgαtg2αz三角1y三角1z三角1y三角1I=+cos2γ?Isin2γ=(?1)z三角2zy
5、三角1221289a其中γ=±120345)中間全等三角形的慣性矩：I=lz全等966)各部分面積：2d扇形：A=(π+2β)182(d?m)tgα三角形①、②、③：A=2423(d?m)中間等邊三角形：A=34?總面積：A=A+A+A1237)由幾何關(guān)系知，削減后截面形心軸與中間的全等三角形形心軸以及大圓形心軸重合，聯(lián)立以上式子并使用平行移軸公式可得任意m值的慣性矩：?2??2??()2???a1???()2???a2???Iz=Iz扇+aA+2Iz扇+A+Iz三角+aA+2Iz三角+A+Iz全等111?2?2?1?122?2?2?2?????????33+tgα其中a=l，
6、a=l12363數(shù)值試驗??IzAI計算困難，編程計算。令m從0變化到5，間隔0.1。觀察與的變zIAz化。100表1計算結(jié)果（m、A、I的值）****mA/AI/ImA/AI/I00.6573080.5105362.60.8905770.8009450.10.6742810.5246142.70.8962340.8101970.20.6889960.5381792.80.9017660.8193530.30.7024210.5513952.90.9071870.8284170.40.7148890.56427630.9125030.8373810.50.726580.5769
7、3.10.9177140.8462510.60.7376380.5892753.20.9228240.8550310.70.7481480.6014183.30.9278060.8637250.80.7581710.613353.40.932710.8723340.90.7677610.625073.50.9375250.88084610.7769730.636613.60.942270.8892871.10.7858320.647973.70.9469210.8976491.20.7943
