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《平面點集的一般概念》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第三節(jié)復平面上的點集一、復平面點集的一般概念二、區(qū)域三、平面曲線一、復平面點集的一般概念定義1鄰域:記作:Nδ(z0)．Nδ(z0)={z
2、
3、z-z0
4、<δ}記作：Nδ0(z0)={z
5、0<
6、z-z0
7、<δ}即定義2內(nèi)點、邊界點、孤立點設(shè)有點集Ｇ及一點z0:?若存在點z0的某鄰域Nδ(z0)??Ｇ則稱z0為Ｇ的內(nèi)點；?若在z0的任意一個鄰域內(nèi),都有屬于Ｇ的點,也有不屬于Ｇ的點,則稱z0為Ｇ的邊界點．點集Ｇ的全體邊界點組成的集合稱為Ｇ的邊界.記為：??Ｇ．即z0為Ｇ的孤立點??δ>0:Nδ(z0)??Ｇ={z0}?若z0屬于Ｇ，但在z0某鄰域內(nèi)除z0外不含Ｇ的點，則稱z0
8、為G的孤立點．定義４有界集和無界集有界！zxyo如果Ｇ內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點,那么Ｇ為開集．定義3開集與閉集平面上不屬于Ｇ的點的全體稱為Ｇ的余集；開集的余集稱為閉集．或開集及其邊界的并集稱為閉集．二、區(qū)域定義5區(qū)域如果平面點集D滿足以下兩個條件,則稱它為一個區(qū)域．(1)D是一個開集；(2)D是連通的,就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來.D加上D的邊界稱為閉域，記為?D＝D+?D．z1?z2?D說明(2)區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的.(1)區(qū)域都是開的.以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點邊界不包含邊界！(1)圓環(huán)域:課堂練習判斷下列區(qū)域
9、是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.平面曲線C的復數(shù)表示:C的實參數(shù)方程C的復參數(shù)方程起點z(?)終點z(?)CC的正向：起點??終點zxyo三、平面曲線定義6連續(xù)曲線例如：復數(shù)形式為復數(shù)形式為或例1求下列方程所表示的曲線:解化簡后得沒有重點的曲線C稱為簡單曲線(或Jordan曲線).重點重點重點換句話說,簡單曲線自身不相交.定義7簡單曲線課堂練習判斷下列曲線是否為簡單曲線?答案簡單閉簡單不閉不簡單閉不簡單不閉簡單閉曲線的性質(zhì)?約當定理任意一條簡單閉曲線C將復平面唯一地分成C,I(C),E(C)三個互不相交的點集
10、.滿足：I(C)E(C)邊界（1）I(C)是一個有界區(qū)域（稱為C的內(nèi)部）.（2）E(C)是一個無界區(qū)域（稱為C的外部）.（3）C是I(C),E(C)的公共邊界.定義8光滑曲線:由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.特點（1）光滑曲線上的各點都有切線（2）光滑曲線可以求長定義9單連通域與多連通域:復平面上的一個區(qū)域D,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于D,就稱為單連通域.一個區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多（復）連通域.單連通域多連通域解無界的單連通域(如圖).例2指明下列不等式所確定的區(qū)域,是有界的還是無界的,單連通的還是多連通的.是角形域,
11、無界的單連通域(如圖).無界的多連通域.表示到1,–1的距離之和為定值4的點的軌跡,是橢圓,有界的單連通域.例3滿足下列條件的點集是什么,如果是區(qū)域,指出是單連通域還是多連通域?是一條平行于實軸的直線,不是區(qū)域.單連通域.是多連通域.不是區(qū)域.小結(jié)與思考應(yīng)理解區(qū)域的有關(guān)概念:鄰域、去心鄰域、內(nèi)點、開集、邊界點、邊界、區(qū)域、有界區(qū)域、無界區(qū)域理解單連通域與多連通域.
