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《高等數(shù)學之數(shù)列的極限》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術——劉徽一、概念的引入第二節(jié)數(shù)列的極限正六邊形的面積正十二邊形的面積形的面積............（圓的面積）正2、截丈問題“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”............二、數(shù)列的定義xn稱為通項定義按自然數(shù)….,3,2,1編號依次排列的一列數(shù)….…,,,,21nxxx(1)稱為無窮數(shù)列,簡稱數(shù)列.其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的項，（一般項）.數(shù)列(1)記為}{nx例如注：1。數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一動
2、點在數(shù)軸上依次取2。數(shù)列是整標函數(shù)三、數(shù)列的極限問題:當無限增大時,是否無限接近于某一確定的問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻劃它.通過上面的圖象可知:=數(shù)值?如果是,如何確定?定義如果對于任意給定的正數(shù)e（不論它多么小），總存在正數(shù)N,使得對于Nn>時的一切nx,不等式e<-axn都成立,那末就稱常數(shù)a是數(shù)列nx的極限，或者稱數(shù)列nx收斂于a,記為或如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注1。的無限(任意)接近與刻劃了不等式axaxnne<-2。有關.與任意給定的正數(shù)eNNn>刻劃接
3、近階段其中0>ε,0>N.e<-axn恒有,>Nn時當將上述定義用數(shù)學語言可表述如下：,幾何解釋:例1證所以,例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).例3證例4證在利用數(shù)列極限的定義來證明數(shù)列的極限時，重要的是要指出對于任意給定的正數(shù)ε，正整數(shù)N確實存在，沒有必要非去求出最小的N。注：數(shù)列二1/2,2/3,3/4,…,n/(n+1),…四、數(shù)列極限的性質1、有界性數(shù)列一1,2,3,…,n,…無界數(shù)列三1,-1,1,-1,…有界有界定義:對數(shù)列,若存在正數(shù),使得一切自然數(shù),2、唯一性定理每個收
4、斂的數(shù)列只有一個極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.定理收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.例：證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).這就3、子數(shù)列的收斂性注：例如，knk}{xnxnk項，中卻是第在原數(shù)列而項，是第中，一般項在子數(shù)列>k{xn}xnk顯然，定理收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂．且極限相同．證證畢．反之，即使數(shù)列的兩個子序列都收斂，但不收斂于同一極限，原數(shù)列仍是發(fā)散的。{X2k-1}=1,1,1,…和{X2k}=-1,-
5、1,-1,…注：數(shù)列極限的ε-N定義，在理論上的重要性是顯而易見的，許多定理的證明都要用到。都是{Xn}=1,-1,1,-1,1,-1,…的子序列，它們分別收斂于1和-1，但原數(shù)列{Xn}是發(fā)散的。例如
