高等數(shù)學(xué)數(shù)列極限

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1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（1）第三講數(shù)列的極限授課教師：易學(xué)軍歡迎觀看第二章極限本章學(xué)習(xí)要求：了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運(yùn)用“ε－δ”和“ε－X”語言描述函數(shù)的極限。理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則以及運(yùn)用左右極限計(jì)算分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。掌握無窮小量的比較，能熟練運(yùn)用等價(jià)無窮小量計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運(yùn)用極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限求相應(yīng)的函數(shù)極限

2、。第二章極限第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列及其簡(jiǎn)單性質(zhì)二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列的收斂準(zhǔn)則稱為一個(gè)數(shù)列,記為{xn}.1.定義數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一項(xiàng)xn=f(n)稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)一、數(shù)列及其簡(jiǎn)單性質(zhì)數(shù)列也稱為序列2.數(shù)列的表示法公式法圖示法表格法運(yùn)用數(shù)軸表示運(yùn)用直角坐標(biāo)系表示介紹幾個(gè)數(shù)列xn0242nx1x2……x???????????????……例1…xnx2x1x0x3…??????????01–1x所有的奇數(shù)項(xiàng)所有的偶數(shù)項(xiàng)x1M3x1xx4x2??????????0所有奇數(shù)項(xiàng)1xnx3x2

3、x1x0………??????????…3.數(shù)列的性質(zhì)單調(diào)性有界性(1)數(shù)列的單調(diào)性單調(diào)增加不減少的數(shù)列單調(diào)減少的情形怎么定義？單調(diào)減少不增加的嚴(yán)格單調(diào)增加(單調(diào)增加)嚴(yán)格單調(diào)減少(單調(diào)減少)單調(diào)增加(不減少的)單調(diào)減少(不增加的)統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列數(shù)列(2)數(shù)列的有界性回想一下前面講過的函數(shù)的有界性的情形我學(xué)過嗎？數(shù)列的有界性的定義如何定義數(shù)列無界？有界的數(shù)列在數(shù)軸上和在直角坐標(biāo)系中的圖形會(huì)是什么樣子？想想：

4、xn

5、

6、*)中.()x0M*－M*??????????例2…xnx2x1x0x3…??????????觀察例1中的幾個(gè)數(shù)列：01–1xx1M3x1xx4x2??????????01xnx3x2x1x0………??????????…xn0242nx1x2……x???????????????……有些數(shù)列雖然無界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的.若xn?M,M?R,則稱{xn}有上界.若xn?m,m?R，則稱{xn}有下界.{xn}:有界??既有上界又有下界.一個(gè)數(shù)列有界(有上界,有下界),則必有無窮多個(gè)界(上界,下界).現(xiàn)

7、在來討論如何定義數(shù)列的無界：首先看有界性定義的關(guān)鍵所在對(duì)所有的例3證分析二、數(shù)列的極限001極限描述的是變量的變化趨勢(shì).討論數(shù)列當(dāng)無限增大時(shí)的變化趨勢(shì).容易看出:當(dāng)無限增大時(shí),x1x3x2n-1x2nx4x2??x0???????((()))*??????????????????????????“n無限增大”記為n??.此時(shí)稱數(shù)列當(dāng)n??時(shí)以零為極限,記為：這就是該數(shù)列的變化趨勢(shì)的圖上看,從數(shù)列x1x3x2n-1x2nx4x2??x0???????((()))*??????????????????????????量化

8、表示：n??時(shí),xn?a.預(yù)先任意給定一個(gè)正數(shù)?>0,不論它的值多么小,當(dāng)n無限增大時(shí),數(shù)列{xn}總會(huì)從某一項(xiàng)開始,以后的所有項(xiàng)都落在U(0,?)中.（在U(0,?)外面只有有限項(xiàng)）010)1(e<--nn其中,是描述點(diǎn)xn與點(diǎn)0無限接近的度量標(biāo)準(zhǔn),它是預(yù)先任意給定的,與{xn}的極限存在與否無關(guān).不存在.由N存在與否判斷數(shù)列的極限是否存在.n>N描述n??.通過目標(biāo)不等式來尋找N>0,N=N(?).不等式稱為目標(biāo)不等式.一般地,如果數(shù)列{xn}當(dāng)n??時(shí),列{xn}當(dāng)n??時(shí)以a為極限,記為xn可以無限地趨近某個(gè)

9、常數(shù)a,則稱數(shù)此時(shí),也稱數(shù)列是收斂的.例4001若{xn}當(dāng)n??時(shí)沒有極限,則稱{xn}發(fā)散.若時(shí),使當(dāng)記為或此時(shí),也稱數(shù)列{xn}是收斂的.極限描述的是變量的變化趨勢(shì)數(shù)列的項(xiàng)不一定取到它的極限值.數(shù)列極限的定義：例5例6例7例8例9例101.唯一性定理若數(shù)列{xn}收斂,則其極限值必唯一.想想,如何證明它？三、數(shù)列極限的性質(zhì)設(shè)數(shù)列{xn}收斂,但其極限不唯一,不妨設(shè)有：證運(yùn)用反證法任意性常數(shù)由?的任意性,上式矛盾,故a=b.唯一性定理的推論的任何一個(gè)子數(shù)列都收斂,且均以a為極限.充分必要條件何謂子數(shù)列？子數(shù)列的概

10、念在數(shù)列{xn}:x1,x2,?,xn,?中,保持各項(xiàng)原來的先后次序不變,自左往右任意選取無窮多項(xiàng)所構(gòu)成的新的數(shù)列,稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列,記為唯一性定理的推論往往用來證明或判斷數(shù)列極限不存在．例11例122.有界性定理若數(shù)列{xn}收斂,則{xn}必有界.證設(shè)則由極限定義,取時(shí),即有則由數(shù)列有界的定義得：數(shù)列{xn}收斂,則必有界.該定理的逆