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《階和二階常系數(shù)線性差分方程》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、9/20/20213:46AM*§7.6一階和二階常系數(shù)線性差分方程1.一階常系數(shù)線性差分方程2.二階常系數(shù)線性差分方程9/20/20213:46AM1.一階常系數(shù)線性差分方程第7章微分方程與差分方程的方程稱為一階常系數(shù)線性差分方程。形如為已知函數(shù)，其中為未知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程（1）稱為非齊次的；當(dāng)時(shí)，方程（1）稱為齊次的。9/20/20213:46AM一階常系數(shù)線性差分方程的解法第7章微分方程與差分方程1）齊次方程 的解法設(shè) 已知，中得這種解法稱為迭代法。將 依次代人一般地，可以驗(yàn)證，滿足差分方程，因此是差分方程的解9/20/20213:46A
2、M第7章微分方程與差分方程2）一般解法即若 是方程（1）的一個(gè)特解，它與方程（1）相減得由前面知，令 ，即 是對(duì)應(yīng)齊次方程的解，也是齊次方程的解9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方程而 是非齊次方程的一個(gè)特解，因此是是齊次方程的通解，故 是由通解的定義知，非齊次方程的解，而且含有任意常數(shù)，非齊次方程（1）的通解。非齊次方程通解齊次方程的通解非齊次方程的特解9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方程代人方程中得特解，設(shè) 是此方程的一個(gè)特解，稱為特征方程，因此 是它的通解首先求齊次方程 的通解其根
3、稱為特征根，故 是此齊次方程的一個(gè)9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方程方程轉(zhuǎn)化為再求非齊次方程 的特解代人方程得利用迭代法設(shè)給定初值 ，依次將9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方程因此猜想方程的解為當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，可以驗(yàn)證在這兩種情況下 均為方程的解。9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方程的特解。當(dāng) 時(shí)，利用待定系數(shù)法設(shè)方程具有 形式取 ，代人方程得所以方程的特解為又因?qū)?yīng)的齊次方程的通解為故此方程的通解為9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方程當(dāng) 時(shí)，取 ，對(duì)應(yīng)的齊次方程的通
4、解為 ，通解為將 代人方程得此時(shí)方程的特解為 ，而當(dāng) 時(shí)，故此方程的9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方程例1求差分方程 的通解解代人 式得通解由題意9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方程的特解方程轉(zhuǎn)化為利用待定系數(shù)法設(shè)方程具有形如當(dāng) 時(shí)，取 ，即 ，代人方程得于是9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方程當(dāng) 時(shí)，通解為當(dāng) 時(shí)，通解為取 ，取 ，（自己推出）9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方程例2求差分方程 的通解解代人 式得通解由題意9/20/202
5、13:46AM第7章微分方程與差分方程的特解。方程轉(zhuǎn)化為設(shè)方程具有形如當(dāng) 時(shí)，取 ，代人方程，得到方程的特解。將比較同次系數(shù)，確定出對(duì)于 是一般的 次多項(xiàng)式的情況可類似求解。9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方程當(dāng) 時(shí)，取 ，此時(shí)將代人方程，得到方程的特解。比較同次系數(shù)，確定出這種情況下，方程的左端為方程為 ，可將 化成 的形式求出它的一個(gè)特解。9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方程例3求差分方程 的通解解比較系數(shù)得設(shè) ，代人原方程原方程的特解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 ，故原方程的通解9/20/20
6、213:46AM第7章微分方程與差分方程例4求差分方程 的通解解而方程轉(zhuǎn)化為通解為故所以9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方程例5在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，種植先于產(chǎn)出及產(chǎn)品的出售一個(gè)適當(dāng)?shù)臅r(shí)期，時(shí)期該產(chǎn)品的價(jià)格 決定著生產(chǎn)者在下一時(shí)期愿意在市場(chǎng)上提供的產(chǎn)量 ，還決定著本期該產(chǎn)品的需求量 ，因此有求價(jià)格隨時(shí)間變化的規(guī)律。9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方程解假設(shè)在每一時(shí)期中價(jià)格總是確定在市場(chǎng)出清的水平上，即 ，得差分方程因此得到由于所以 ，故方程是形如（2）的方程，按 求解。9/20/20213:46AM第7章微分方程與差分方
7、程于是，對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 ，當(dāng) 時(shí)，通解為方程的特解為所求問(wèn)題的（初始價(jià)格），代人通解得則滿足初始條件的特解為9/20/20213:46AM2.二階常系數(shù)線性差分方程第7章微分方程與差分方程的差分方程稱為二階常系數(shù)線性差分方程。形如當(dāng) 時(shí)，方程（4）稱為非齊次的；當(dāng) 時(shí)，稱其為方程（4）對(duì)應(yīng)的齊次方程。方程9/20/20213:46AM二階常系數(shù)線性差分方程的通解第7章微分方程與差分方程=對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解+非齊次方程的特解1）二階常系數(shù)線性齊次差分方程的通解設(shè) 為一特解，（5）得代人方程稱
