第七 種群競爭模型

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1、種群競爭模型一.問題的提出Causs根據(jù)實驗分析，得出結(jié)論“吃同種食物的兩種不同生物是不能長期共存的?！蹦闳绾卫斫膺@句話這里不妨將我們討論的對象想象為生活在同一草原上的羚羊和老鼠。二.模型假設(shè)1.假設(shè)種群密度相當(dāng)。2.假設(shè)種群個體都是健康的。3.假設(shè)沒有受自然災(zāi)害的影響，只是靠搞自身的競爭力三.符號說明以、表示處于相互競爭關(guān)系中甲、乙二種群在時刻的數(shù)量，1．?資源有限，設(shè)其總量為，分別表示甲、乙二種群在單種群情況下自然資源所能承受的最大種群數(shù)量；2．?種群數(shù)量的增長率與該種群數(shù)量成正比，同時也與有閑資源成正比；3．?

2、各種群在對所占據(jù)資源的利用上是不充分的，分別表示甲、乙二種群對對方已占用資源的相對挑剔程度，通俗的講，是在對方用過的盤子里撿“剩骨頭”。比方，若時，表示在乙種群看來，甲種群是“奢侈的”，它可以在甲種群用過的盤子里撿到“剩骨頭”，若時，說明乙種群在食物選擇上是“過分”挑剔的，或者可理解為，對于乙種群，甲種群在資源利用上對資源有破壞性；換一個說法，反映了甲、乙二種群適應(yīng)能力，越小、越大，則甲種群的相對適應(yīng)能力越強(qiáng)；4．?分別表示甲、乙二種群的固有增長率。四.模型建立根據(jù)模型假設(shè)，可得如下數(shù)學(xué)模型：經(jīng)化簡，得：五.模型求解

3、與分析模型方程的解沒有解析表達(dá)式，我們的興趣和目的是：當(dāng)充分大時，、的變化趨勢怎樣？利用平衡點的穩(wěn)定性，對兩種群的變化趨勢可作出判斷。令模型方程的右端項，求解可得該模型的四個平衡點：、、、。1．討論平衡點的穩(wěn)定性為此，將微分方程的右端函數(shù)以其在的一階Taylor展式取代，構(gòu)造線性動力系統(tǒng)，此時系數(shù)矩陣，其兩特征值按照上一節(jié)中判斷平衡點穩(wěn)定性的方法，計算得，，，故是不穩(wěn)定性的（結(jié)點）；這表明兩種群不會同時滅絕。2．?確定平衡點的穩(wěn)定性將微分方程的右端函數(shù)以其在的一階Taylor展式取代，構(gòu)造線性動力系統(tǒng)，此時系數(shù)矩陣為

4、，的兩個特征值分別為：，按照判斷平衡點穩(wěn)定性的方法，計算得：當(dāng)且僅當(dāng)時，平衡點是（局部）穩(wěn)定的；條件表示在消耗供養(yǎng)乙的資源中甲強(qiáng)于乙，此時，乙種群終將在競爭中滅絕，而甲種群能夠一直存活下去并趨向于其最大容量。3．?確定平衡點的穩(wěn)定性與2的討論類似，可以得平衡點是（局部）穩(wěn)定的充要條件為；條件表示在消耗供養(yǎng)甲的資源中乙強(qiáng)于甲，此時，甲種群終將要在競爭中滅絕，而乙種群能夠一直存活下去。4．?確定平衡點的穩(wěn)定性平衡點只有在第一象限內(nèi)方有實際意義，為此應(yīng)有同時大于“1”或同時小于“1”，采用類似2的分析，可以得到當(dāng)同時大于“

5、1”時，平衡點為一鞍點，是不穩(wěn)定的；當(dāng)同時小于“1”時，平衡點為一穩(wěn)定的結(jié)點。表示在消耗供養(yǎng)甲的資源中乙弱于甲，表示在消耗供養(yǎng)乙的資源中甲弱于乙，二者同時成立，于是二者共存，甲、乙兩種群將分別趨向于非零的有限值