有限元法講稿

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1、平面問(wèn)題的有限單元法有限單元法是隨著計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)而發(fā)展起來(lái)的一種有效數(shù)值計(jì)算方法，有限單元法出現(xiàn)于40年代，被應(yīng)用于飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析，有限元這個(gè)術(shù)語(yǔ)是1956年首先使用的。目前已廣泛地用于工程結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析中。第一節(jié)基本概念一、實(shí)質(zhì)理想化連續(xù)體―――――――單元集合體（解析模擬、逼近求解區(qū)域）無(wú)限自由度有限個(gè)自由度有限單元法首先把結(jié)構(gòu)劃分成許多單元,在一定的簡(jiǎn)化假設(shè)前提下,研究單元的力學(xué)特性，即單元分析；然后把各單元綜合起來(lái),把局部的力學(xué)特性擴(kuò)展到整體,即整體分析37；最后導(dǎo)出一組以結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移為未知量的代數(shù)方程組。通過(guò)求解方程組而得到單元的結(jié)點(diǎn)位移值，就可近似計(jì)算出結(jié)構(gòu)任意一點(diǎn)的受力

2、狀態(tài)。這種以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量的計(jì)算方法稱(chēng)為有限單元位移法。二、理論基礎(chǔ)彈性力學(xué)：變分原理能量原理基本方程：幾何方程、物理方程1.平面問(wèn)題的幾何方程37這就是彈性力學(xué)平面問(wèn)題的幾何方程，它給出了某一點(diǎn)的位移與該點(diǎn)應(yīng)變之間的關(guān)系。反映了變形協(xié)調(diào)關(guān)系。2.平面問(wèn)題的物理方程即：給出了力與變形之間的關(guān)系，稱(chēng)為平面問(wèn)題物理方程，是針對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題推導(dǎo)出的。對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只需將公式中的換成，把換成即可。這樣，彈性矩陣就變?yōu)椋?7（2.8）這就是適用于平面應(yīng)變問(wèn)題的彈性矩陣。3.彈性體的能量原理（1）應(yīng)變能在彈性范圍內(nèi)，對(duì)于平面問(wèn)題，某個(gè)面積A的應(yīng)變能可以用下式表示寫(xiě)成矩陣的形式為37（

3、2）外力勢(shì)能外力勢(shì)能用矩陣的形式可表示為式中??作用在彈性體i點(diǎn)的外力分量；??i點(diǎn)的位移分量（3）彈性體的總勢(shì)能彈性體在外力作用的總勢(shì)能定義為應(yīng)變能和荷載勢(shì)能之和，即（4）最小勢(shì)能原理37單元的眾多的結(jié)點(diǎn)位移中,須滿(mǎn)足條件：即的一組位移才是真正的位移。最小勢(shì)能原理反映的是平面體的平衡方程。4.變分原理(1)基本概念設(shè)一泛函Π,它由積分形式確定,一般形式為:Π是隨函數(shù)u變化而變化的函數(shù)，稱(chēng)為u的泛函。37（2）歐拉公式設(shè)一維泛函使此泛函取得極值的函數(shù)y(x)必定滿(mǎn)足下列方程式(推導(dǎo)從略)其中:;;;;這就是歐拉方程。滿(mǎn)足歐拉方程的函數(shù)y(x)能使泛函取極值。換言之,欲求能使泛函取極

4、值的函數(shù)y(x)就必須求解歐拉方程這一偏微分方程。(3)(位移)變分的近似解法＿＿瑞雷-里茲法37最小勢(shì)能原理給彈性力學(xué)問(wèn)題提供了這樣一種近似解法：設(shè)定一個(gè)位移分量的表達(dá)式,使其滿(mǎn)足位移邊界條件和連續(xù)可微條件(這是容許位移所要滿(mǎn)足的條件),并包含若干待定系數(shù),用位移分量來(lái)表示變形能。這樣,總勢(shì)能即由位移和變形的泛函變?yōu)檫@些待定系數(shù)的函數(shù)。然后根據(jù)極值條件方程來(lái)確定這些待定系數(shù),從而求得近似解。這就是瑞雷法。里茲把位移函數(shù)假定為:其中:＿＿＿待定系數(shù)；＿＿＿假定的某種函數(shù)。這些函數(shù)可以是冪函數(shù)()也可以是其他合適的函數(shù)。把這些位移函數(shù)代入總勢(shì)能泛函,總勢(shì)能泛函即由位移的泛函變?yōu)檫@些待

5、定系數(shù)的函數(shù)。然后根據(jù)極值條件來(lái)確定這些待定系數(shù)以求得近似解。這就是瑞雷-里茲法。37這2n個(gè)方程正好解出這2n個(gè)待定系數(shù),從而求得位移函數(shù)的近似解。(4)用有限單元法解微分方程37三、分析的一般過(guò)程圖1.1（a）（b）1、劃分單元―――連續(xù)體的離散化構(gòu)成了以單元的集合體來(lái)近似代替原來(lái)的連續(xù)體的有限元分析計(jì)算模型2、建立位移模型373、單元分析單元的剛度方程可表示為，（1.1）式中：??單元結(jié)點(diǎn)力向量；??就是單元的剛度矩陣；它反映了單元結(jié)點(diǎn)力與單元結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。單元分析的結(jié)果就建立單元的單元?jiǎng)偠确匠毯颓蟪鰡卧獎(jiǎng)偠染仃嚒?、整體分析整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度方程可以由最小勢(shì)能原理來(lái)建立。

6、總剛度方程為（1.2）式中：??結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載向量；??結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣；??結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量，由單元的結(jié)點(diǎn)位移向量集成；整體分析的目的就是建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度方程，以求解未知的結(jié)點(diǎn)位移及計(jì)算單元應(yīng)力。375、求解節(jié)點(diǎn)力位移6、通過(guò)位移求解應(yīng)力、應(yīng)變四、單元類(lèi)型把結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)單元時(shí)，可以選擇不同的單元形狀，圖1.2列出了工程中常用的幾種單元的形狀,自左至右分別是：三結(jié)點(diǎn)三角形單元,六結(jié)點(diǎn)三角形單元、四結(jié)點(diǎn)矩形單元、四結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元和八結(jié)點(diǎn)曲邊等參數(shù)單元。這些單元的特性和分析方法將在下面討論。圖1.2常用平面單元的形狀37第一節(jié)常應(yīng)變?nèi)切螁卧弧⑽灰颇Ｊ胶托魏瘮?shù)圖5.3.1

7、37設(shè)、為單元中任一點(diǎn)沿軸和軸方向的位移，假定單元中各點(diǎn)的位移成線(xiàn)性變化，即（3.1）這就是我們所假定的三角形單元的線(xiàn)性位移模式。把上式寫(xiě)成矩陣形式，即：（3.1a）或?qū)懗桑?.2）當(dāng)時(shí),37當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)同理（3.3a）（3.3b）求解以上兩式的方程組可得待定系數(shù)，即得到。這里略去推導(dǎo)過(guò)程中的繁瑣運(yùn)算，最后可得到矩陣N為：（3.9）其中：A為單元面積；37（3.11）（3.12）37（3.13）令（3.14）、、稱(chēng)為單元的形函數(shù)。矩陣Ｎ稱(chēng)為單元的形函數(shù)矩陣。由式（3.9）