有限元法基礎(chǔ)講稿-第17講新doc.ppt

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1、結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法單元與整體分析能量原理有限單元法的核心是建立單元?jiǎng)偠染仃?，有了單元?jiǎng)偠染仃?，加以適當(dāng)組合，可以得到平衡方程組，剩下的就是一些代數(shù)運(yùn)算了。在彈性力學(xué)平面問題計(jì)算中，我們是用直觀方法建立單元?jiǎng)偠染仃嚨?，其?yōu)點(diǎn)是易于理解，并便于初學(xué)者建立清晰的力學(xué)概念。但這種直觀方法也是有缺點(diǎn)的：一方面，對(duì)于比較復(fù)雜的單元，依靠它建立單元?jiǎng)偠染仃囀怯欣щy的；另一方面，它也不能給出關(guān)于收斂性的證明。把能量原理應(yīng)用于有限單元法，就可以克服這些缺點(diǎn)。能量原理為建立有限單元法基本公式提供了強(qiáng)有力的工具。在各種能量原理中，虛位移原理和最小勢(shì)能原理應(yīng)用最為方便，

2、因而得到了廣泛的采用。虛位移原理。所謂虛位移可以是任何無限小的位移，它在結(jié)構(gòu)內(nèi)部必須是連續(xù)的，在結(jié)構(gòu)的邊界上必須滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件，例如對(duì)于懸臂梁來說，在固定端處，虛位移及其斜率必須等于零。結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…單元與整體分析圖2-15固體的邊界條件考慮圖2-15所示的物體，它受到外力F1、F2、…等的作用，記F＝[F1F2F3…]T在這些外力作用下，物體的應(yīng)力為結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…單元與整體分析現(xiàn)在假設(shè)物體發(fā)生了虛位移，在外力作用處與各個(gè)外力相應(yīng)方向的虛位移為，記上述虛位移所產(chǎn)生的虛應(yīng)變?yōu)樵诋a(chǎn)生虛位移時(shí)，外力已作用于物體，而且在虛位移過程中

3、，外力保持不變。因此，外力在虛位移上所做的虛功是整個(gè)物體的虛應(yīng)變能為虛位移原理表明，如果在虛位移發(fā)生之前，物體處于平衡狀態(tài)，那末在虛位移發(fā)生時(shí)，外力所做虛功等于物體的虛應(yīng)變能，即(2-1-52)(2-1-53)(2-1-53)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…單元與整體分析虛位移原理不但適用于線性材料，也適用于非線性材料。最小勢(shì)能原理物體的勢(shì)能定義為物體的應(yīng)變能U與外力勢(shì)V之差，即其中應(yīng)變能U為外力勢(shì)由下式計(jì)算式中，右端第l項(xiàng)為集中力F的勢(shì)；第2項(xiàng)為體積力q的勢(shì)；第3項(xiàng)為面力的勢(shì)；Sσ為面力作用的表面；rb為表面Sσ上的位移。(2-1-54)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有

4、限元法…單元與整體分析最小勢(shì)能原理可敘述如下：在所有滿足邊界條件的協(xié)調(diào)（連續(xù)）位移中，那些滿足平衡條件的位移使物體勢(shì)能取駐值，即對(duì)于線性彈性體，勢(shì)能取最小值。最小勢(shì)能原理可以用虛位移原理證明。最小勢(shì)能原理可用虛位移加以證明。(2-1-55)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…單元與整體分析用能量原理求單元?jiǎng)偠染仃嚭凸?jié)點(diǎn)荷載利用最小勢(shì)能原理，可以求出單元?jiǎng)偠染仃嚰肮?jié)點(diǎn)荷載。對(duì)空間問題，設(shè)一個(gè)單元，在各節(jié)點(diǎn)上作用著節(jié)點(diǎn)力Fe，單元節(jié)點(diǎn)位移為δe、單元應(yīng)變?yōu)棣?Bδe，物體應(yīng)變能為即其中Ke為單元?jiǎng)偠染仃噯卧?jié)點(diǎn)力的外力勢(shì)為(2-1-56)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…單

5、元與整體分析則單元的勢(shì)能為由最小勢(shì)能原理，，所以有則節(jié)點(diǎn)力為從物理上考慮，應(yīng)變能必須是正量，而節(jié)點(diǎn)位移又是任意的，所以單元?jiǎng)偠染仃囀钦ǖ?。由此可以推斷?shì)能的二階變分是非負(fù)的。既然勢(shì)能的一階變分等于零，二階變分又非負(fù)，從而可以斷定勢(shì)能取最小值。把r=Nδe代入外力勢(shì)的表達(dá)式中，得到體力q與面力的勢(shì)為(2-1-57)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法單元與整體分析所以單元的勢(shì)能為根據(jù)最小勢(shì)能原理得到以上諸式跟由虛位移原理推得結(jié)論一致。(2-1-58)(2-1-59)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…單元與整體分析用能量原理求總體平衡方程結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣為K，節(jié)點(diǎn)位移為δ，

6、結(jié)構(gòu)內(nèi)能為{P}為作用在節(jié)點(diǎn)上的荷載，荷載的勢(shì)為結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為由最小勢(shì)能原理，勢(shì)能取駐值，即(2-1-60)(2-1-61)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…單元與整體分析則得到該方程與由節(jié)點(diǎn)平衡方程得到的方程組一致，但結(jié)構(gòu)復(fù)雜時(shí)或采高次單元時(shí)，利用最小勢(shì)能原理建立方程組無特殊困難。(2-1-62)