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《有限元法基礎講稿-第17講新doc.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在應用文檔-天天文庫。
1、結構靜力學問題的有限元法單元與整體分析能量原理有限單元法的核心是建立單元剛度矩陣，有了單元剛度矩陣，加以適當組合，可以得到平衡方程組，剩下的就是一些代數(shù)運算了。在彈性力學平面問題計算中，我們是用直觀方法建立單元剛度矩陣的，其優(yōu)點是易于理解，并便于初學者建立清晰的力學概念。但這種直觀方法也是有缺點的：一方面，對于比較復雜的單元，依靠它建立單元剛度矩陣是有困難的；另一方面，它也不能給出關于收斂性的證明。把能量原理應用于有限單元法，就可以克服這些缺點。能量原理為建立有限單元法基本公式提供了強有力的工具。在各種能量原理中，虛位移原理和最小勢能原理應用最為方便，
2、因而得到了廣泛的采用。虛位移原理。所謂虛位移可以是任何無限小的位移，它在結構內部必須是連續(xù)的，在結構的邊界上必須滿足運動學邊界條件，例如對于懸臂梁來說，在固定端處，虛位移及其斜率必須等于零。結構靜力學問題的有限元法…單元與整體分析圖2-15固體的邊界條件考慮圖2-15所示的物體，它受到外力F1、F2、…等的作用，記F＝[F1F2F3…]T在這些外力作用下，物體的應力為結構靜力學問題的有限元法…單元與整體分析現(xiàn)在假設物體發(fā)生了虛位移，在外力作用處與各個外力相應方向的虛位移為，記上述虛位移所產(chǎn)生的虛應變?yōu)樵诋a(chǎn)生虛位移時，外力已作用于物體，而且在虛位移過程中
3、，外力保持不變。因此，外力在虛位移上所做的虛功是整個物體的虛應變能為虛位移原理表明，如果在虛位移發(fā)生之前，物體處于平衡狀態(tài)，那末在虛位移發(fā)生時，外力所做虛功等于物體的虛應變能，即(2-1-52)(2-1-53)(2-1-53)結構靜力學問題的有限元法…單元與整體分析虛位移原理不但適用于線性材料，也適用于非線性材料。最小勢能原理物體的勢能定義為物體的應變能U與外力勢V之差，即其中應變能U為外力勢由下式計算式中，右端第l項為集中力F的勢；第2項為體積力q的勢；第3項為面力的勢；Sσ為面力作用的表面；rb為表面Sσ上的位移。(2-1-54)結構靜力學問題的有
4、限元法…單元與整體分析最小勢能原理可敘述如下：在所有滿足邊界條件的協(xié)調（連續(xù)）位移中，那些滿足平衡條件的位移使物體勢能取駐值，即對于線性彈性體，勢能取最小值。最小勢能原理可以用虛位移原理證明。最小勢能原理可用虛位移加以證明。(2-1-55)結構靜力學問題的有限元法…單元與整體分析用能量原理求單元剛度矩陣和節(jié)點荷載利用最小勢能原理，可以求出單元剛度矩陣及節(jié)點荷載。對空間問題，設一個單元，在各節(jié)點上作用著節(jié)點力Fe，單元節(jié)點位移為δe、單元應變?yōu)棣?Bδe，物體應變能為即其中Ke為單元剛度矩陣單元節(jié)點力的外力勢為(2-1-56)結構靜力學問題的有限元法…單
5、元與整體分析則單元的勢能為由最小勢能原理，，所以有則節(jié)點力為從物理上考慮，應變能必須是正量，而節(jié)點位移又是任意的，所以單元剛度矩陣是正定的。由此可以推斷勢能的二階變分是非負的。既然勢能的一階變分等于零，二階變分又非負，從而可以斷定勢能取最小值。把r=Nδe代入外力勢的表達式中，得到體力q與面力的勢為(2-1-57)結構靜力學問題的有限元法單元與整體分析所以單元的勢能為根據(jù)最小勢能原理得到以上諸式跟由虛位移原理推得結論一致。(2-1-58)(2-1-59)結構靜力學問題的有限元法…單元與整體分析用能量原理求總體平衡方程結構整體剛度矩陣為K，節(jié)點位移為δ，
6、結構內能為{P}為作用在節(jié)點上的荷載，荷載的勢為結構的勢能為由最小勢能原理，勢能取駐值，即(2-1-60)(2-1-61)結構靜力學問題的有限元法…單元與整體分析則得到該方程與由節(jié)點平衡方程得到的方程組一致，但結構復雜時或采高次單元時，利用最小勢能原理建立方程組無特殊困難。(2-1-62)
