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1、結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法軸對(duì)稱問題有限元法如果彈性體的幾何形狀、約束條件及荷載都對(duì)稱于某一軸，例如z軸，則所有的位移、應(yīng)變及應(yīng)力也對(duì)稱于此軸。這種問題稱為軸對(duì)稱應(yīng)力問題。在豎井、壓力容器及機(jī)械制造中，經(jīng)常遇到軸對(duì)稱應(yīng)力問題。用有限單元法分析軸對(duì)稱問題時(shí)，須將結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)圓環(huán)單元。圓環(huán)單元的截面常用三角形或矩形，也可以是其他形式。這種環(huán)形單元之間由圓環(huán)形鉸相連，稱為結(jié)圓。軸對(duì)稱問題的單元雖然是圓環(huán)體，與平面問題的平板單元不同，但由于對(duì)稱性，可以任取一個(gè)子午面進(jìn)行分析。圓環(huán)形單元與子午面上相截生成
2、網(wǎng)格，可以采用平面問題有限元分析相似的方法分析。不同之處是：單元為圓環(huán)體，單元之間由結(jié)圓鉸接，節(jié)點(diǎn)力為結(jié)圓上的均布力，單元邊界為回轉(zhuǎn)面。結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…軸對(duì)稱問題有限元法圖2-8軸對(duì)稱彈性體三角形單元圖2-9軸對(duì)稱三角形單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…軸對(duì)稱問題有限元法對(duì)于軸對(duì)稱問題，采用圓柱坐標(biāo)(r，θ，z)較為方便。如果以彈性體的對(duì)稱軸作為z軸，所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移都與θ無關(guān)，只是r和z的函數(shù)。任一點(diǎn)只有兩個(gè)位移分量，即沿r方向的徑向位移u和沿z方向的軸向位移w。由于對(duì)
3、稱，θ方向的環(huán)向位移等于零。在軸對(duì)稱問題中，采用的單元是一些圓環(huán)。這些圓環(huán)和rz平面正交的截面通常取為三角形，如圖2-8所示的ijm(也可以取為其他形狀)。各單元之間用圓環(huán)形的鉸鏈互相連接，每一個(gè)鉸與rz平面的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，如i、j、m等等。各單元在rz平面上形成三角形網(wǎng)格，類似于在平面問題中各三角形單元在xy平面上所形成的網(wǎng)格。但是在軸對(duì)稱問題中，每個(gè)單元的體積都是一個(gè)圓環(huán)的體積，這點(diǎn)與平面問題是不同的。假定物體的形狀、約束條件及荷載都是軸對(duì)稱的，這時(shí)只需分析一個(gè)截面。結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…
4、軸對(duì)稱問題有限元法位移函數(shù)取出一個(gè)環(huán)形單元的截面ijm如圖2-9所示，在節(jié)點(diǎn)位移為仿照平面問題，位移的類似表達(dá)式為其中(2-1-22)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…軸對(duì)稱問題有限元法寫為矩陣的形式其中是二階單位矩陣。(2-1-23)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…軸對(duì)稱問題有限元法單元應(yīng)變圖2-10軸對(duì)稱彈性體的應(yīng)力軸對(duì)稱應(yīng)力問題，每點(diǎn)具有4個(gè)應(yīng)變分量，如圖2-10所示，沿r方向的正應(yīng)變?chǔ)舝，稱為徑向正應(yīng)變；沿θ方向的正應(yīng)變?chǔ)纽?，稱為環(huán)向正應(yīng)變；沿z方向的正應(yīng)變?chǔ)舲，稱為軸向正應(yīng)變；在rz平面中的剪應(yīng)變?yōu)棣?/p>
5、rz。由于軸對(duì)稱，其余兩個(gè)剪應(yīng)變分量γrθ及γθz都等于零。根據(jù)幾何關(guān)系，可推知應(yīng)變與位移之間符合下列關(guān)系結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…軸對(duì)稱問題有限元法將位移函數(shù)式代入上式得其中(2-1-24)(2-1-25)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…軸對(duì)稱問題有限元法環(huán)向應(yīng)變?chǔ)纽戎邪俗鴺?biāo)r和z，不是常量，但其他應(yīng)變分量都是常量。單元應(yīng)力在軸對(duì)稱問題中，任一點(diǎn)具有4個(gè)應(yīng)力分量，即徑向正應(yīng)力σr、環(huán)向正應(yīng)力σθ、軸向正應(yīng)力σz及剪應(yīng)力τrz。應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，可用矩陣寫成式中[D]為彈性矩陣，對(duì)各向同性體(2
6、-1-26)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…軸對(duì)稱問題有限元法單元?jiǎng)偠染仃囉商撐灰品匠蹋刂麄€(gè)圓環(huán)求體積分，可得節(jié)點(diǎn)荷載對(duì)于軸對(duì)稱問題，節(jié)點(diǎn)荷載是作用在整圈圓環(huán)形鉸上的。例如，設(shè)節(jié)點(diǎn)的半徑為r，單位長度的鉸上作用的荷載為(徑向)和(軸向)，計(jì)算中采用的節(jié)點(diǎn)荷載應(yīng)為徑向2πr，軸向2πr。設(shè)單位體積內(nèi)作用的體積力(重力、離心力等)為q=[qrqz]T，節(jié)點(diǎn)荷載為(2-1-27)(2-1-28)
