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《有限元法基礎(chǔ)講稿-第16講新doc.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法等參數(shù)有限元方法單元插值函數(shù)的方次隨單元節(jié)點數(shù)目增加而增加，其代數(shù)精確度也隨之提高，用它們構(gòu)造有限元模型時，用較少的單元就能獲得較高精度的解答。但前面給出的高精度單元的幾何形狀多很規(guī)則，對復(fù)雜邊界的適應(yīng)性差，不能期望用較少的形狀規(guī)則的單元來離散復(fù)雜幾何形狀的結(jié)構(gòu)。那么，能否構(gòu)造出本身形狀任意、邊界適應(yīng)性強(qiáng)的高精度單元呢?構(gòu)造這樣的單元存在兩個方面的困難：一是難以構(gòu)造出滿足連續(xù)性條件的單元插值函數(shù)；二是單元分析中出現(xiàn)的積分難以確定積分限。于是希望另辟蹊徑，利用形狀規(guī)則的高次
2、單元通過某種演化來實現(xiàn)這一目標(biāo)。數(shù)學(xué)上，可以通過解析函數(shù)給出的變換關(guān)系，將一個坐標(biāo)系下形狀復(fù)雜的幾何邊界映射到另一個坐標(biāo)系下，生成形狀簡單的幾何邊界，反過來也一樣。那么，將滿足收斂條件的形狀規(guī)則的高精度單元作為基本單元，定義于局部坐標(biāo)系(取自然坐標(biāo)系)，通過坐標(biāo)變換映射到總體坐標(biāo)系(取笛卡兒坐標(biāo)系)中生成幾何邊界任意的單元，作為實際單元，只要變換使實際單元與基本單元之間的點一一對應(yīng)，即滿足坐標(biāo)變換的相容性，實際單元同樣滿足收斂條件。這樣構(gòu)造的單元具有雙重特性：作為實際單元，其幾何特性、受力情況、
3、力學(xué)性能都來自真實結(jié)構(gòu)，充分反映了它的屬性；作為基本單元，其形狀規(guī)則，便于計算與分析。結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…等參數(shù)有限元方法有限單元法中最普遍采用的變換方法是等參數(shù)變換，即坐標(biāo)變換和單元內(nèi)的場函數(shù)采用相同數(shù)目的節(jié)點參數(shù)及相同的插值函數(shù)，等參數(shù)變換的單元稱之為等參數(shù)單元。借助于等參數(shù)單元可以對于一般的任意幾何形狀的工程問題和物理問題方便地進(jìn)行有限元離散，因此，等參數(shù)單元的提出為有限單元法成為現(xiàn)代工程實際領(lǐng)域最有效的數(shù)值分析方法邁出了極為重要的一步。由于等參數(shù)變換的采用使等參數(shù)單元的各種特性矩陣
4、計算在規(guī)則域內(nèi)進(jìn)行，因此不管各積分形式的矩陣中的被積函數(shù)如何復(fù)雜，都可以方便地采用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)值積分方法計算，從而使各類不同工程實際問題的有限元分析納入了統(tǒng)一的通用化程序的軌道，現(xiàn)在的有限元分析大多采用等參數(shù)單元。結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…等參數(shù)有限元方法等參數(shù)變換為將局部坐標(biāo)中幾何形狀規(guī)則的單元轉(zhuǎn)換成總體坐標(biāo)中幾何形狀復(fù)雜的單元，整體坐標(biāo)（x，y，z）（笛卡兒坐標(biāo)）與局部坐標(biāo)（ξ，η，ζ）（自然坐標(biāo)）之間使用坐標(biāo)變換為建立前面所述的變換，最方便的方法是將坐標(biāo)變換式也表示成插值函數(shù)的形式其中，n是
5、用以進(jìn)行坐標(biāo)變換的單元節(jié)點數(shù)，xi，yi，zi是這些節(jié)點在總體坐標(biāo)內(nèi)的坐標(biāo)值，Ni也稱為形狀函數(shù)，實際上是用局部坐標(biāo)表示的插值基函數(shù)。通過上式建立起兩個坐標(biāo)系之間的變換，從而將局部坐標(biāo)內(nèi)的形狀規(guī)則的單元(基本單元)變換為笛卡兒坐標(biāo)內(nèi)的形狀扭曲的單元(實際單元)，前者為母單元，后者為子單元。(2-1-39)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…等參數(shù)有限元方法是相同的，由于坐標(biāo)變換和函數(shù)插值采用相同的節(jié)點，并且采用相同的插值函數(shù)，故稱這種變換為等參數(shù)變換。各種單元的插值函數(shù)可查閱有關(guān)資料。圖2-14的等參數(shù)變
6、換為a）母單元b）子單元圖2-14二維線性單元的變換(2-1-40)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…等參數(shù)有限元方法單元矩陣的變換有限元分析中，為建立求解方程，需要進(jìn)行各個單元體積內(nèi)和面積上的積分，來描述在x、y、z坐標(biāo)系下出現(xiàn)的物理量，它們的一般形式可表示為但實際單元是由局部坐標(biāo)下的基本單元映射生成，位移模式(2-1-40)是局部坐標(biāo)的函數(shù)，單元列式的推導(dǎo)是在局部坐標(biāo)ξ、η、ζ下進(jìn)行的。由于從坐標(biāo)變換式(2.1.39)不能獲得、、的顯式，G（x，y，z）與g（x，y，z）作為x、y、z的函數(shù)也就只能
7、是某種隱含的關(guān)系，不存在顯式表達(dá)，所以只能在局部坐標(biāo)ξ、η、ζ下完成前面的積分。為此需要建立兩個坐標(biāo)系內(nèi)體積微元、面積微元之間的變換關(guān)系。而被積函數(shù)G和g中還常包含著對于總體坐標(biāo)x、y、z的導(dǎo)數(shù)，因此還要建立兩個坐標(biāo)系內(nèi)導(dǎo)數(shù)之間的變換關(guān)系。(2-1-41)(2-1-42)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…等參數(shù)有限元方法導(dǎo)數(shù)之間的變換關(guān)系。按照通常的偏微分規(guī)則，函數(shù)Ni對ξ、η、ζ的偏導(dǎo)數(shù)可表示成上式中J稱為Jacobi矩陣，可記作，利用式(2-1-39)，J可以顯式地表示為局部坐標(biāo)的函數(shù)(2-1-43
8、)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…等參數(shù)有限元方法這樣一來，Ni對于x，y，z的偏導(dǎo)數(shù)可用局部坐標(biāo)顯式地表示為結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…等參數(shù)有限元方法其中[J]-1是[J]的逆矩陣。(2-1-44)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…等參數(shù)有限元方法體積微元、面積微元的變換。dξ、dη、dζ在笛卡兒坐標(biāo)系內(nèi)所形成的體積微元是dV=dξ·(dη×dζ)而其中i、j和k是笛卡兒坐標(biāo)x、y和z方向的單位向量。將式(2-1-46)代入式(2-1-45)，得到(2-1-45)(2-1-46)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題的有限元法…等
