D1_1映射與函數(shù) 高等數(shù)學(xué)

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1、第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限第一章二、映射三、函數(shù)一、集合第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束映射與函數(shù)元素a屬于集合M,記作元素a不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作?.(或).注:M為數(shù)集表示M中排除0的集;表示M中排除0與負(fù)數(shù)的集.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：x所具有的特征例:整數(shù)集合或有理數(shù)集p與q互質(zhì)實(shí)數(shù)集合x為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)

2、間閉區(qū)間機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束無限區(qū)間點(diǎn)的?鄰域其中,a稱為鄰域中心,?稱為鄰域半徑.半開區(qū)間去心?鄰域左?鄰域:右?鄰域:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束是B的子集,或稱B包含A,2.集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義2.則稱A若且則稱A與B相等,例如,顯然有下列關(guān)系:,,?若設(shè)有集合記作記作必有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義3.給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束或二、映射1.映射的概念某校學(xué)生的集合學(xué)號的集合按一定規(guī)則查號某班學(xué)生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束引例1.引例

3、2.引例3.(點(diǎn)集)(點(diǎn)集)向y軸投影機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義4.設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對應(yīng),則稱f為從X到Y(jié)的映射,記作元素y稱為元素x在映射f下的像,記作元素x稱為元素y在映射f下的原像.集合X稱為映射f的定義域;Y的子集稱為f的值域.注意:1)映射的三要素—定義域,對應(yīng)規(guī)則,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對映射若,則稱f為滿射;若有則稱f為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f為雙射或一一映射.引例2,3機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束引例2引例2例1.海倫公式例2.如圖

4、所示,對應(yīng)陰影部分的面積則在數(shù)集自身之間定義了一種映射(滿射)例3.如圖所示,則有(滿射)(滿射)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束X(數(shù)集或點(diǎn)集)說明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用X(≠?)Y(數(shù)集)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束f稱為X上的泛函X(≠?)Xf稱為X上的變換Rf稱為定義在X上的為函數(shù)映射又稱為算子.名稱.例如,2.逆映射與復(fù)合映射(1)逆映射的定義定義:若映射為單射,則存在一新映射使習(xí)慣上,的逆映射記成例如,映射其逆映射為其中稱此映射為f的逆映射.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)復(fù)合映射機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束手電筒D引例.復(fù)合映射定義.則當(dāng)由上述映射鏈可定義

5、由D到Y(jié)的復(fù)設(shè)有映射鏈記作合映射,時(shí),或機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:構(gòu)成復(fù)合映射的條件不可少.以上定義也可推廣到多個(gè)映射的情形.定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義4.設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D上的函數(shù),記為f(D)稱為值域函數(shù)圖形:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束自變量因變量(對應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值定義域?qū)?yīng)規(guī)律的表示方法:解析法、圖象法、列表法使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對值函數(shù)定義域值域機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.已知函數(shù)求及解:函數(shù)無定義并寫出定義域及值域.定義域值域機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.函數(shù)的幾種特性設(shè)

6、函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱說明:還可定義有上界、有下界、無界(見上冊P11)(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I上有界.使若對任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)無界.稱為有上界稱為有下界當(dāng)時(shí),稱為I上的稱為I上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)奇偶性且有若則稱f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如,偶函數(shù)雙曲余弦記機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(4)周期性且則稱為周期函數(shù),若稱l為周期(一般指最小正周期).周期為?周期為注:周期函數(shù)

7、不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x為有理數(shù)x為無理數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f的反函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.例如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束指數(shù)函數(shù)(2)復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù),①機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束—復(fù)合映射的特例②u稱為中間變量.注意:構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可

8、少.例如,函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成