等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

《等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、1.理解等比數(shù)列的概念．2．掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．4．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和[理要點(diǎn)]一、等比數(shù)列的相關(guān)概念相關(guān)名詞等比數(shù)列{an}的有關(guān)概念及公式定義＝q(q是常數(shù)且q≠0，n∈N+)或＝q(q是常數(shù)且q≠0，n∈N+且)通項(xiàng)公式an＝n≥2a1qn－12．對于任意正整數(shù)p、q、r、s，只要滿足p＋q＝r＋s，則有.二、等比數(shù)列的性質(zhì)1．通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m.ap·aq＝ar·as4．若數(shù)列{logaan

2、}成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}成．等比數(shù)列常數(shù)列遞減數(shù)列7．Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n滿足(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，但不一定成等比數(shù)列．[究疑點(diǎn)]b2＝ac是a，b，c成等比數(shù)列的什么條件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比數(shù)列的必要不充分條件，∵當(dāng)b＝0時(shí)，a，c至少有一個(gè)為零時(shí)，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比數(shù)列，反之，若a，b，c成等比數(shù)列，則必有b2＝ac.答案：2n＋1－22．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.求證：數(shù)列{cn}是等

3、比數(shù)列．若將“cn＝an－1”改為“c1＝a1，且cn＝an－an－1(n≥2)”，試判斷數(shù)列{cn}是否還是等比數(shù)列？4．前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．注意：(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空中的判定．(2)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項(xiàng)不成等比即可.答案：C答案：B3．(2010·陜西高考)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)

4、；(2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn.4．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＜1，前n項(xiàng)和為Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n項(xiàng)的和Sn＝126，求n和公比q.[歸納領(lǐng)悟]等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)所求問題可迎刃而解．解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運(yùn)用，在運(yùn)算過程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算的過程．注意：在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)

5、和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式.[題組自測]1．已知等比數(shù)列{an}中，an>0，a1，a99為方程x2－10x＋16＝0的兩根，則a20·a50·a80的值為()A．32B．64C．256D．±64答案：B2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6∶S3＝1∶2，則S9∶S3等于()A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．1∶3答案：C4．(2010·安徽高考)設(shè){an}是任意等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和，前2n項(xiàng)和與前3n項(xiàng)和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是()A．X＋Z＝2YB．Y(Y－

6、X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZD．Y(Y－X)＝X(Z－X)解析：由題意知Sn＝X，S2n＝Y(jié)，S3n＝Z.又∵{an}是等比數(shù)列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n為等比數(shù)列，即X，Y－X，Z－Y為等比數(shù)列，∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，∴Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)．答案：D[歸納領(lǐng)悟]等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上只有“一字之差”，它們的通項(xiàng)公式和性質(zhì)有許多相似之處，其中等差數(shù)列中的“和”“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中的“積”“冪”相類比．關(guān)注它們之間的異同有助于我們從整體上把握

7、它們，同時(shí)也有利于類比思想的推廣．對于等差數(shù)列項(xiàng)的和或等比數(shù)列項(xiàng)的積的運(yùn)算，若能關(guān)注通項(xiàng)公式an＝f(n)的下標(biāo)n的大小關(guān)系，可簡化題目的運(yùn)算．一、把脈考情從近兩年的高考試題來看，等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題又有解答題，難度中等偏高．客觀題突出“小而巧”，考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度，主觀題考查較為全面，在考查基本運(yùn)算、基本概念的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法．預(yù)測2012年高考，等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式仍是考查的重點(diǎn)，特別是等比數(shù)列的性質(zhì)

8、更要引起重視．答案：A2．(2010·江西高考)等比數(shù)列{an}中，

9、a1

10、＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，則an＝()A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n解