唐金東外文翻譯

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1、導(dǎo)數(shù)S.Axler，K.A.Ribet設(shè)f定義在（a，b）上的函數(shù)，我們稱f在c上的微分為：時(shí)微分存在，而并不是，如果它存在，我們定義為或，并且我們稱之為f在c上的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)，f在c上總存在導(dǎo)數(shù)，我們稱f在（a,b）上是可微的，在這種條件下，我們定義導(dǎo)數(shù)是所有在（a,b）上有定義的函數(shù)。例如函數(shù)在上是可微的，并且f在c上的導(dǎo)數(shù)對(duì)于所有的c都有定義當(dāng)時(shí)，由于它的導(dǎo)數(shù)是一條直線，所以函數(shù)（在所有實(shí)數(shù)下）它的導(dǎo)數(shù)是直線的斜率，特別是一個(gè)常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在所有實(shí)數(shù)條件下為0。如果，函數(shù)的可微的并且導(dǎo)數(shù)：如果f在c上是可微的，那么所以f在c上是連續(xù)的，因此

2、，一個(gè)可微函數(shù)是連續(xù)的。然而，在0附近是連續(xù)的但是并不是可微的：而然而當(dāng)時(shí)，在上，并且當(dāng)時(shí)，在上導(dǎo)數(shù)在計(jì)算功能上具有算術(shù)性質(zhì)。定理3.11如果函數(shù)f和g在（a,b）上是可微的，k是任意常數(shù)，所以對(duì)于f+g，kf，kg在條件下，此外，如果函數(shù)g在（a,b）上非零，是可微的，并且前兩個(gè)復(fù)合函數(shù)一起被叫做導(dǎo)數(shù)的線性運(yùn)算，第三個(gè)稱為和運(yùn)算，最后一個(gè)是除運(yùn)算，為了驗(yàn)證這些規(guī)則，在下：對(duì)于乘法對(duì)于加法對(duì)于除法綜上，我們稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是。通過(guò)歸納我們求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，當(dāng)n=1時(shí)顯然成立；假設(shè)成立，通過(guò)乘法法則我們有：的導(dǎo)數(shù)為這就證明當(dāng)時(shí)，，由于多項(xiàng)式是單項(xiàng)

3、式的線性組合，所以他們是可微的，例如：而當(dāng)n=1時(shí)顯然成立，當(dāng)時(shí)，運(yùn)用除法運(yùn)算法則，我們有在定理3.11基礎(chǔ)上。另一個(gè)在除法法則的結(jié)果是有理函數(shù)的可微的，無(wú)論在什么定義域內(nèi)。例如：我們稱函數(shù)g在c上是函數(shù)f的切線，如果函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)是有定義的，如果：假設(shè)函數(shù)在c點(diǎn)與函數(shù)f相切，由于函數(shù)g的圖形是一條直線，也可以寫作函數(shù)與函數(shù)f在（c，f（c））點(diǎn)相切，更簡(jiǎn)易的稱作相切與點(diǎn)c，兩函數(shù)圖象是相互相切的即切線重合。所以函數(shù)f在c點(diǎn)有且只有一條切線。如果函數(shù)f在c可微，并有函數(shù)在c點(diǎn)與函數(shù)f相切，所以有：因此，函數(shù)f在c點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在c點(diǎn)的斜率

4、。如果函數(shù)f在c點(diǎn)可微，設(shè)正數(shù)k和在中的隨機(jī)數(shù)c，我們有：所以，如果不這樣，對(duì)于任意的，我們可以找到，這種說(shuō)法相互矛盾，即滿足：但是，當(dāng)時(shí)，將于函數(shù)f在c點(diǎn)可微相矛盾。定理3.12（鏈?zhǔn)椒▌t）設(shè)函數(shù)f和g分別在（a，b），（c，d）上可微，如果，那么在（a，b）上可微，并有：因此，當(dāng)時(shí)，首先，其次當(dāng)?shù)珜?duì)于所有的，，，因此，對(duì)于所有的，這樣對(duì)所有的，所以：當(dāng)時(shí)，但。這些結(jié)論是建立在下，如果根據(jù)定理3.12取任意常數(shù)k有：當(dāng)y接近于時(shí)。當(dāng)時(shí)有，在這種情況下我們建立：因此外文著錄S.Axler，K.A.Ribet，UndergraduateTex

5、tsinMathematics，Springer，2011，71~75