頻域性能指標(biāo)和時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系

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1、5.7頻域性能指標(biāo)和時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系頻率響應(yīng)法是通過(guò)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性的一些特征量間接地表征系統(tǒng)的瞬(暫)態(tài)響應(yīng)的性能，因而這些特征量又被稱為頻域性能指標(biāo)。常用的頻域性能指標(biāo)有幅值裕度、相位裕度、諧振峰值、諧振頻率和頻帶寬度等。雖然這些指標(biāo)沒(méi)有時(shí)域性能指標(biāo)那樣直觀，但在二階系統(tǒng)中，它們與時(shí)域性能指標(biāo)有著確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于高階系統(tǒng)，也有近似的關(guān)系。5.7.1頻域指標(biāo)和二階系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程指標(biāo)設(shè)二階單位反饋系統(tǒng)的方框圖如圖5-80所示。圖5-80二階單位反饋系統(tǒng)的方框圖此系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其中為阻尼比，為無(wú)阻尼自然振蕩頻率。令代入上式，可得系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)為:式中根據(jù)式(5-

2、67)可知，當(dāng)時(shí)，在諧振頻率處，出現(xiàn)峰值二階系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性如圖5-81所示。96圖5-81圖5-80所示系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性對(duì)于二階系統(tǒng)，在時(shí)，頻率特性的諧振峰值可以反映系統(tǒng)的阻尼系數(shù)，而其諧振頻率可以反映給定對(duì)應(yīng)的自然頻率,從而也能反映響應(yīng)速度。這樣就可把二階系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的和當(dāng)作性能指標(biāo)用。系統(tǒng)的頻帶寬度(帶寬)由圖5-81可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，閉環(huán)頻率特性的幅值單調(diào)下降。當(dāng)閉環(huán)頻率特性的幅值下降到時(shí)，或者說(shuō)，當(dāng)閉環(huán)頻率特性的分貝值下降到零頻率時(shí)分貝值以下分貝時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率稱為截止頻率，又稱帶寬頻率。此時(shí)有對(duì)于，有系統(tǒng)對(duì)頻率高于的輸入衰減很大，只允許頻率低于的輸入通過(guò)。閉環(huán)頻率特性的分貝值不低

3、于分貝時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率范圍稱為系統(tǒng)的帶寬。帶寬是一個(gè)重要的頻域性能指標(biāo)。帶寬反映了系統(tǒng)在一定頻帶范圍內(nèi)比較滿意地復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的能力。帶寬大，表明系統(tǒng)能通過(guò)較高頻的輸入;帶寬小，表明系統(tǒng)只能通過(guò)較低頻的輸入。因此，帶寬大的系統(tǒng)，一方面重現(xiàn)輸入信號(hào)的能力強(qiáng);另一方面，抑制輸入端高頻噪聲的能力弱。為了使系統(tǒng)準(zhǔn)確地跟蹤任意的輸入，帶寬大好;而從抑制噪聲考慮，帶寬又不能太大。因此，對(duì)帶寬要求是有矛盾的，設(shè)計(jì)中應(yīng)根據(jù)具體情況折衷考慮。96對(duì)于一階系統(tǒng)和二階，帶寬和系統(tǒng)參數(shù)具有解析關(guān)系。設(shè)一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為因?yàn)?，根?jù)帶寬的定義(5-141)根據(jù)式(5-141)可求得帶寬頻率在第三章中，我們研究一階系統(tǒng)

4、的暫態(tài)響應(yīng)時(shí)，有這樣的結(jié)論:取的誤差帶時(shí)，，上升時(shí)間。因此(5-142)(5-143)從式(5-142)和(5-143)可以看出，系統(tǒng)的帶寬頻率和上升時(shí)間成反比，也和調(diào)節(jié)時(shí)間成反比。設(shè)二階欠阻尼系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的幅頻特性為因?yàn)椋鶕?jù)帶寬的定義，所以有因而有(5-144)由式(5-144)可知，二階系統(tǒng)的帶寬頻率和無(wú)阻尼自然振蕩頻率成正比。設(shè)，則有(5-145)96由(5-145)可知，為阻尼比的減函數(shù)，即帶寬頻率和阻尼比成反比。根據(jù)第三章中二階系統(tǒng)的上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間和無(wú)阻尼自然振蕩頻率、阻尼比的關(guān)系式(3-42)、式(3-52)及式(3-53)可知，？？？系統(tǒng)的帶寬頻率和上升時(shí)間

5、和過(guò)渡過(guò)程時(shí)間成反比。這一結(jié)論也適用于高階系統(tǒng)。？？？？？？？？？在第三章中曾指出，在時(shí)系統(tǒng)的阻尼振蕩頻率為階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量為和的關(guān)系曲線如圖5-82所示。由圖可見(jiàn)，當(dāng)愈小時(shí)，的值愈大。在的情況下，的值是逐一對(duì)應(yīng)的。而當(dāng)時(shí)，諧振峰值不在存在。圖5-82二階系統(tǒng)和的關(guān)系曲線諧振頻率和阻尼振蕩頻率之間存在一定的關(guān)系：其關(guān)系如圖5-83所示。？？？？？？96圖5-83二階系統(tǒng)諧振頻率和阻尼振蕩頻率的關(guān)系曲線下面研究二階系統(tǒng)的相位裕度和阻尼比的關(guān)系。圖5-80所示的二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為:在幅值穿越頻率處，,即或所以有二階系統(tǒng)的相位裕度為二階欠阻尼系統(tǒng)的和在間的關(guān)系曲線如圖5-84所示。96圖

6、5-84典型二階系統(tǒng)的曲線由圖5-81可知,相位裕度為阻尼比的增函數(shù)。在的范圍內(nèi)，它們的關(guān)系可近似地表示為(5-146)通常，為使控制系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)性能，一般希望相位裕度為，此時(shí)，對(duì)應(yīng)二階系統(tǒng)的阻尼比為。5.7.2高階系統(tǒng)系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)和頻率響應(yīng)之間存在一定的數(shù)學(xué)關(guān)系，用復(fù)立葉積分式表示為對(duì)于高階系統(tǒng)，進(jìn)行上述的變換十分困難。實(shí)際上經(jīng)常應(yīng)用一些近似估計(jì)方法。高階系統(tǒng)的典型閉環(huán)幅頻特性如圖5-85所示。實(shí)際中常用以下的頻域指標(biāo)表征系統(tǒng)性能。圖5-85高階系統(tǒng)的典型閉環(huán)幅頻特性曲線1諧振峰值閉環(huán)幅頻特性的最大值稱為諧振峰值。它反映了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。一般而言，的值愈大，則系統(tǒng)階躍響應(yīng)的最大超

7、調(diào)量也愈大，因而系統(tǒng)的穩(wěn)定程度較差。通常希望系統(tǒng)的諧振峰值在1.1至1.4之間，相當(dāng)于。962諧振頻率諧振峰值出現(xiàn)時(shí)的頻率稱為諧振頻率，它在一定程度上反映了系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的速度。值愈大，則暫態(tài)響應(yīng)愈快。3截止頻率(帶寬頻率)當(dāng)系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性的幅值降到零頻率幅值的0.707(或零頻率分貝值以下3dB)時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率稱為截止頻率。0至的頻率范圍稱為系統(tǒng)的帶寬。它反映了系統(tǒng)對(duì)噪聲的濾波特性，同時(shí)也反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速