知識(shí)講解-《集合》全章復(fù)習(xí)與鞏固

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1、《集合》全章復(fù)習(xí)鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；2．理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集；3．理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；4．能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對理解抽象概念的作用.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：集合的基本概念1．集合的概念一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，如1～10內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，包括2，3，5，7，則3是我們所要研究的對象，它是其中的一個(gè)元素，把一些元素組成的總體叫做集合，

2、如上述2，3，5，7就組成了一個(gè)集合。2．元素與集合的關(guān)系（1）屬于：如果是集合A的元素，就說A，記作A。要注意“∈”的方向，不能把∈A顛倒過來寫.（2）不屬于：如果不是集合A的元素，就說集合A，記作。3．集合中元素的特征（1）確定性：集合中的元素必須是確定的。任何一個(gè)對象都能明確判斷出它是否為某個(gè)集合的元素；（2）互異性：集合中的任意兩個(gè)元素都是不同的，也就是同一個(gè)元素在集合中不能重復(fù)出現(xiàn)。（3）無序性：集合與組成它的元素的順序無關(guān)。如集合{1，2，3}與{3，1，2}是同一個(gè)集合。4．集合的分類集

3、合可根據(jù)它含有的元素個(gè)數(shù)的多少分為兩類：有限集：含有有限個(gè)元素的集合。無限集：含有無限個(gè)元素的集合。要點(diǎn)詮釋：把不含有任何元素的集合叫做空集，記作，空集歸入有限集。要點(diǎn)二：集合間的關(guān)系1．(1)子集：對于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作AB，對于任何集合A規(guī)定。(2)如果A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，記做.兩個(gè)集合A與B之間的關(guān)系如下：其中記號(hào)（或）表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含集合A

4、）。2．子集具有以下性質(zhì)：（1）AA，即任何一個(gè)集合都是它本身的子集。（2）如果，，那么A=B。（3）如果，，那么。3．包含的定義也可以表述成：如果由任一x∈A，可以推出x∈B，那么（或）。不包含的定義也可以表述成：兩個(gè)集合A與B，如果集合A中存在至少一個(gè)元素不是集合B的元素，那么（或）。4．有限集合的子集個(gè)數(shù)：（1）n個(gè)元素的集合有個(gè)子集。（2）n個(gè)元素的集合有個(gè)真子集。（3）n個(gè)元素的集合有個(gè)非空子集。（4）n個(gè)元素的集合有個(gè)非空真子集。要點(diǎn)詮釋：空集是任何集合的，是任何非空集合的．換言之，任何集

5、合至少有一個(gè)子集．要點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算1．用定義求兩個(gè)集合的交集與并集時(shí)，要注意“或”“且”的意義，“或”是兩個(gè)皆可的意思，“且”是兩者都有的意思，在使用時(shí)不要混淆。2．用維恩圖表示交集與并集。已知集合A與B，用陰影部分表示A∩B，A∪B，如下圖所示。3．關(guān)于交集、并集的有關(guān)性質(zhì)及結(jié)論歸結(jié)如下：（1）A∩A=A，A∩=，A∩B=(B∩A)A（或B）；A∪A=A，A∪=A，A∪B=(B∪A)A（或B）。（2）,（3）德摩根定律：,（4）；。4．全集與補(bǔ)集（1）它們是相互依存不可分離的兩個(gè)概念。把我們所

6、研究的各個(gè)集合的全部元素看成是一個(gè)集合，則稱之為全集。而補(bǔ)集則是在時(shí)，由所有不屬于A但屬于U的元素組成的集合，記作。數(shù)學(xué)表達(dá)式：若，則U中子集A的補(bǔ)集為（2）補(bǔ)集與全集的性質(zhì)①②，③,。5．空集的性質(zhì)空集的特殊屬性，即空集雖空，但空有所用。對任意集合A，有，；；；?！镜湫屠}】類型一：集合的含義與表示例1．選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?。?）“mathematics”中字母構(gòu)成的集合；（2）不等式的解集；（3）函數(shù)的自變量的取值范圍。【思路點(diǎn)撥】集合的表示有兩種形式，我們必須了解每種方法的特點(diǎn)，選擇最佳

7、的表達(dá)形式?！窘馕觥浚?）；（2）或（3）或【總結(jié)升華】正確選擇、運(yùn)用列舉法或描述法表示集合，關(guān)鍵是確定集合中的元素。然后根據(jù)元素的數(shù)量和特性來選用恰當(dāng)?shù)谋硎拘问?。舉一反三：【變式1】將集合表示成列舉法，正確的是（）A.{2，3}　B.{（2，3）}　C.{x=2，y=3}　D.（2，3）【答案】B【變式2】已知集合?∣為實(shí)數(shù)，且，為實(shí)數(shù)，且，則的元素個(gè)數(shù)為（）Ａ．0　　　　Ｂ．1　　　?。茫?　　　　?。模?【答案】Ｃ例2．若含有三個(gè)元素的集合可表示為，也可以表示為，求的值?！舅悸伏c(diǎn)撥】由集合中元素

8、的確定性和互異性可解得?！敬鸢浮俊窘馕觥坑?，可得且，則有或解得或（舍去）故【總結(jié)升華】利用集合中元素特性來解題，既要用元素的確定性，又要利用互異性檢驗(yàn)解的正確與否，初學(xué)者在解題時(shí)容易忽視元素的互異性。必須在學(xué)習(xí)中高度重視。另外，本類問題往往涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想。舉一反三：【變式1】若。求實(shí)數(shù)的值?！敬鸢浮俊窘馕觥坑?，可知或或，且。（1）若，則，此時(shí)，與集合中元素的互異性相矛盾，故舍去。（2）若，則，此時(shí)，符合集合的特性。（3）若，則方程無解。綜上可得的