解析幾何的解題思路、方法和策略

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1、解析幾何的解題思路、方法與策略高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的目的，一方面是回顧已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，另一方面，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)能力的不斷提高，學(xué)生不會(huì)僅僅滿(mǎn)足于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)，而是有對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)一步理解的需求，如數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)涵的思想方法、數(shù)學(xué)知識(shí)之間本質(zhì)聯(lián)系等等，所以高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)既要“溫故”，更要“知新”，既能引起學(xué)生的興趣，啟發(fā)學(xué)生的思維，又能促使學(xué)生不斷提出問(wèn)題，有新的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題研究的能力．以“圓錐曲線(xiàn)與方程”內(nèi)容為主的解題思想思路、方法與策略是高中平面解析幾何的核心內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)．每年的高考卷中，一般有兩道選擇或填空題以及一道解答題，主要考查圓錐曲線(xiàn)的

2、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能及基本方法的靈活運(yùn)用，而解答題注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的考查，重視對(duì)圓錐曲線(xiàn)定義的應(yīng)用，求軌跡及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的考查．解析幾何在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)．通過(guò)以圓錐曲線(xiàn)為主要載體，與平面向量、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何等知識(shí)進(jìn)行綜合，結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，并與高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)融為一體，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及創(chuàng)新能力，其設(shè)問(wèn)形式新穎、有趣、綜合性很強(qiáng)．基于解析幾何在高考中重要地位，這一板塊知識(shí)一直以來(lái)都是學(xué)生在高三復(fù)習(xí)中一塊“難啃的骨頭”．所以研究解析幾何的解題思路，方法與策略，重視一題多解，一題多變，多

3、題一解這樣三位一體的拓展型變式教學(xué)，是老師和同學(xué)們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)一起攻堅(jiān)的主題之一．本文嘗試以筆者在實(shí)際高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，在教輔教參和各類(lèi)考試中遇到的幾道題目來(lái)談?wù)劷馕鰩缀谓忸}思路和方法策略．一、一道直線(xiàn)方程與面積最值問(wèn)題的求解和變式例1已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，若直線(xiàn)交軸負(fù)半軸于A(yíng)，交軸正半軸于B，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）設(shè)的面積為，求的最小值并求此時(shí)直線(xiàn)的方程；（2）求最小值；（3）求最小值．解：方法一：∵直線(xiàn)交軸負(fù)半軸，軸正半軸，設(shè)直線(xiàn)的方程為，∴，（1）∴,∴當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)取等號(hào)，∴此時(shí)直線(xiàn)的方程為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（3），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；方法二：設(shè)直線(xiàn)截距式為，∵過(guò)點(diǎn)，∴（1）∵，∴，

4、∴；（2）；（3）．（3）方法三：，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)最小，∴．變式1：原題條件不變，（1）求△AOB的重心軌跡；（2）求△AOB的周長(zhǎng)最小值．解：（1）設(shè)重心坐標(biāo)為，且，，則，，又∵，∴，∴，該重心的軌跡為雙曲線(xiàn)一部分；（2）令直線(xiàn)AB傾斜角為，則，又，過(guò)分別作軸和軸的垂線(xiàn)，垂足為,則，，，∴，令，則t>0，∴周長(zhǎng)∴。變式2：求的最小值．（留給讀者參照變式1，自行解決）點(diǎn)評(píng)：由于三角函數(shù)具有有界性，均值不等式有放大和縮小的功能，在解析幾何中遇上求最值的問(wèn)題，可構(gòu)建三角函數(shù)和均值不等式，合理地放大縮小，利用有界性，求得最值．圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題，解法一般分為兩種:一是幾何法，特別是用圓錐曲

5、線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)處理非常巧妙;二是代數(shù)法，將圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值；二、涉及到拋物線(xiàn)的相關(guān)題目和證明例2證明拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦定值.設(shè)直線(xiàn)AB：，與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，則有如下一些結(jié)論：①，；②；③；④．證明：方法一：設(shè).由，得，.①，則.②作，，，假設(shè)，，，設(shè),∴，∵，∴.方法二：；①；②.例3已知，為拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：（1），兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別為定值；（2）直線(xiàn)經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)．解：（1）設(shè)，，易得，，又，則，∴，∴，；（2）方法一：由對(duì)稱(chēng)性，可知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)

6、一定在軸上，取特值，得定點(diǎn)為；設(shè)直線(xiàn)的方程為，化簡(jiǎn)整理把代入拋物線(xiàn)的方程，可得，那么，，∴，則滿(mǎn)足題意,表明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).方法二：易得直線(xiàn)的斜率，∴直線(xiàn)的方程為，整理得，即，又∵，∴直線(xiàn)的方程為，即得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).方法三：設(shè)，，設(shè)直線(xiàn)方程為，將其代入拋物線(xiàn)的方程，得方程，只需，∴，解得，∴直線(xiàn)的方程為，即得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).方法四：設(shè)直線(xiàn)的方程為，由，得交點(diǎn)為和，又∵的方程為，同理可得，①當(dāng)時(shí)，，∴直線(xiàn)方程為，即，即得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；②當(dāng)，得，，∴的方程為，綜上，由①②直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：方法一是用特殊位置找結(jié)論，再證明，方法二、三、四是處理垂直關(guān)系的通法．類(lèi)似地，過(guò)橢圓，雙曲線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)作，分別交橢

7、圓，雙曲線(xiàn)于，則直線(xiàn)也經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)．變式如圖，橢圓和圓，已知圓將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，且圓的面積為．橢圓的下頂點(diǎn)為E，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線(xiàn)與圓相交于點(diǎn)A、B，直線(xiàn)EA、EB與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別是P、M．（1）求橢圓的方程；（2）（i）設(shè)PM的斜率為，直線(xiàn)斜率為，求的值；（ii）求△面積最大時(shí)直線(xiàn)的方程．解：（1）依題意：，則，∴橢圓方程為；（2）（i）由題意知直線(xiàn)PE,ME的斜率存在且不為0，PE⊥ME．不妨設(shè)直線(xiàn)PE的斜率為k（